Calcule o valor dos determinantes abaixo:
D=|ccccc1 & 2 & 3 & -4 & 2 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 2 & 1 0 & -5 & 5 & 1 & 4 0 & 1 & 0 & -1 & 2|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante de uma matriz 5x5. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, especificamente determinantes. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a matriz usando operações de linha para facilitar o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que precisamos calcular o determinante:
D = 1 & 2 & 3 & -4 & 2 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 2 & 1 0 & -5 & 5 & 1 & 4 0 & 1 & 0 & -1 & 2

Passo 3

Observando a matriz, vemos que a primeira coluna já tem muitos zeros, o que é ótimo porque facilita o cálculo do determinante. Vamos usar o método de expansão por cofatores na primeira coluna. Lembre que o determinante pode ser calculado somando os produtos dos elementos de uma linha ou coluna por seus cofatores correspondentes.

Passo 4

Na primeira coluna, temos os seguintes elementos:
  • D = a11 cdot C11
Como apenas o primeiro elemento é diferente de zero, o determinante fica simplificado:
onde é o cofator correspondente.

Passo 5

Vamos calcular o cofator C11 = (-1)^1+1 cdot M11 = M11 . O cofator é dado por:
M11 = 1 & 0 & 0 & 0 4 & 0 & 2 & 1 -5 & 5 & 1 & 4 1 & 0 & -1 & 2
Aqui, é o menor complementar, que é o determinante da matriz que sobra quando removemos a primeira linha e a primeira coluna:

Passo 6

Agora, vamos calcular M11 = 1 cdot 0 & 2 & 1 5 & 1 & 4 0 & -1 & 2 . Observando essa nova matriz 4x4, também podemos simplificar usando operações de linha. Vamos expandir por cofatores novamente na primeira coluna, pois há um elemento zero:

Passo 7

Vamos calcular o determinante da matriz 3x3:
0 & 2 & 1 5 & 1 & 4 0 & -1 & 2 = 0 cdot 1 & 4 -1 & 2 - 2 cdot 5 & 4 0 & 2 + 1 cdot 5 & 1 0 & -1
Calculando cada menor:
  • 0 - 20 - 5 = -25
Somando tudo:

Passo 8

Voltando ao M11 = 1 cdot (-25) = -25 , temos:

Passo 9

Agora, voltamos ao determinante original D = 1 cdot (-25) = -25 :

Resposta

O valor do determinante é .

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