Seja A=[lll1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 1 & 2 & 4]. Encontre A^-1=[lllx1 & x2 & x3 y1 & y2 & y3 z1 & z2 & z3].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz , que é uma matriz 3x3. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo da matriz inversa usando a matriz adjunta e o determinante. Para isso, vamos precisar calcular o determinante de e a matriz dos cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) . O determinante é uma medida que nos diz se a matriz é invertível (ou seja, se tem inversa). Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
A = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 1 & 2 & 4
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1(1 cdot 4 - 2 cdot 2) - 1(0 cdot 4 - 2 cdot 1) + 1(0 cdot 2 - 1 cdot 1)
Calculando o determinante:
det(A) = 1(4 - 4) - 1(0 - 2) + 1(0 - 1)
det(A) = 1(0) - 1(-2) + 1(-1) = 0 + 2 - 1 = 1
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz dos cofatores de C11 = (+1) cdot 1 & 2 2 & 4 = 1(1 cdot 4 - 2 cdot 2) = 1(4 - 4) = 0 . Os cofatores são calculados para cada elemento da matriz, aplicando um sinal positivo ou negativo dependendo da posição, e multiplicando pelo determinante do menor correspondente.
Vamos calcular cada cofator C12 = (-1) cdot 0 & 2 1 & 4 = -1(0 cdot 4 - 2 cdot 1) = -1(0 - 2) = 2 :
Para C13 = (+1) cdot 0 & 1 1 & 2 = 1(0 cdot 2 - 1 cdot 1) = 1(0 - 1) = -1 :
C21 = (-1) cdot 1 & 1 2 & 4 = -1(1 cdot 4 - 1 cdot 2) = -1(4 - 2) = -2
Para C22 = (+1) cdot 1 & 1 1 & 4 = 1(1 cdot 4 - 1 cdot 1) = 1(4 - 1) = 3 :
C23 = (-1) cdot 1 & 1 1 & 2 = -1(1 cdot 2 - 1 cdot 1) = -1(2 - 1) = -1
Para C31 = (+1) cdot 1 & 1 1 & 2 = 1(1 cdot 2 - 1 cdot 1) = 1(2 - 1) = 1 :
C32 = (-1) cdot 1 & 1 0 & 2 = -1(1 cdot 2 - 1 cdot 0) = -1(2 - 0) = -2
Para C33 = (+1) cdot 1 & 1 0 & 1 = 1(1 cdot 1 - 1 cdot 0) = 1(1 - 0) = 1 :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Com os cofatores calculados, formamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = 0 & 2 & -1 -2 & 3 & -1 1 & -2 & 1
Agora, precisamos encontrar a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores:
adj(A) = Cof(A)^T = 0 & -2 & 1 2 & 3 & -2 -1 & -1 & 1

Passo 5

Por fim, a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é dada por:
A^-1 = 1 cdot 0 & -2 & 1 2 & 3 & -2 -1 & -1 & 1 = 0 & -2 & 1 2 & 3 & -2 -1 & -1 & 1
Como , temos:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 0 & -2 & 1 2 & 3 & -2 -1 & -1 & 1 é:

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