Considerando as alternativas A ou B, a seguir, determine qual o resultado mais provável. Use a distribuição binomial.
A: obter pelo menos um 6 em 4 jogadas de 1 dado
B: obter soma 12 pelo menos uma vez em 24 jogadas de 2 dados

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas alternativas, A e B, e precisamos descobrir qual delas tem maior probabilidade de acontecer usando a distribuição binomial.
Alternativa A: Obter pelo menos um 6 em 4 jogadas de um dado.
Alternativa B: Obter soma 12 pelo menos uma vez em 24 jogadas de dois dados.
Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento acontecer um certo número de vezes em um número fixo de tentativas, considerando que cada tentativa é independente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. Ela é usada quando temos:
  1. Um número fixo de tentativas (n).
  2. Cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: “sucesso” ou “fracasso”.
  3. A probabilidade de sucesso § é a mesma em todas as tentativas.
  4. As tentativas são independentes.
A fórmula da distribuição binomial para calcular a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • binomnk é o número de combinações de n elementos tomados k a k.
  • p é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
  • (1-p) é a probabilidade de fracasso em uma tentativa.
No nosso caso, queremos a probabilidade de pelo menos um sucesso, ou seja, P(k >= 1). Isso pode ser calculado como:
P(k >= 1) = 1 - P(k = 0)

Passo 3

Vamos aplicar isso na Alternativa A:
Alternativa A: Obter pelo menos um 6 em 4 jogadas de um dado.
  • Número de tentativas, n = 4
  • Probabilidade de sucesso (tirar um 6), p = 16
Primeiro, calculamos P(k = 0), que é a probabilidade de não tirar nenhum 6 nas 4 jogadas.
P(k = 0) = (1 - 16)^4 = (56)^4
Calculando isso:
(56)^4 approx 0,4823
Então, a probabilidade de pelo menos um 6 é:
P(k >= 1) = 1 - 0,4823 = 0,5177 ou 51,77%

Passo 4

Agora, vamos para a Alternativa B:
Alternativa B: Obter soma 12 pelo menos uma vez em 24 jogadas de dois dados.
  • Número de tentativas, n = 24
  • Probabilidade de sucesso (soma 12 em dois dados), p = 136
Primeiro, calculamos P(k = 0), que é a probabilidade de não obter soma 12 em nenhuma das 24 jogadas.
P(k = 0) = (1 - 136)^24 = (3536)^24
Calculando isso:
(3536)^24 approx 0,5086
Então, a probabilidade de pelo menos uma soma 12 é:
P(k >= 1) = 1 - 0,5086 = 0,4914 ou 49,14%

Resposta

Comparando as duas alternativas:
  • Alternativa A: 51,77%
  • Alternativa B: 49,14%
Portanto, a Alternativa A (obter pelo menos um 6 em 4 jogadas de um dado) tem uma probabilidade ligeiramente maior de acontecer.

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