Considerando as alternativas A ou B, a seguir, determine qual o resultado mais provável. Use a distribuição binomial.
A: obter pelo menos um 6 em 4 jogadas de 1 dado
B: obter soma 12 pelo menos uma vez em 24 jogadas de 2 dados
A: obter pelo menos um 6 em 4 jogadas de 1 dado
B: obter soma 12 pelo menos uma vez em 24 jogadas de 2 dados
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas alternativas, A e B, e precisamos descobrir qual delas tem maior probabilidade de acontecer usando a distribuição binomial.
Alternativa A: Obter pelo menos um 6 em 4 jogadas de um dado.
Alternativa B: Obter soma 12 pelo menos uma vez em 24 jogadas de dois dados.
Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um evento acontecer um certo número de vezes em um número fixo de tentativas, considerando que cada tentativa é independente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição binomial. Ela é usada quando temos:
- Um número fixo de tentativas (n).
- Cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis: “sucesso” ou “fracasso”.
- A probabilidade de sucesso § é a mesma em todas as tentativas.
- As tentativas são independentes.
A fórmula da distribuição binomial para calcular a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é:
Onde:
-
é o número de combinações de n elementos tomados k a k. -
é a probabilidade de sucesso em uma tentativa. -
é a probabilidade de fracasso em uma tentativa.
No nosso caso, queremos a probabilidade de pelo menos um sucesso, ou seja,
. Isso pode ser calculado como:
Passo 3
Vamos aplicar isso na Alternativa A:
Alternativa A: Obter pelo menos um 6 em 4 jogadas de um dado.
- Número de tentativas,
- Probabilidade de sucesso (tirar um 6),
Primeiro, calculamos
, que é a probabilidade de não tirar nenhum 6 nas 4 jogadas.
Calculando isso:
Então, a probabilidade de pelo menos um 6 é:
Passo 4
Agora, vamos para a Alternativa B:
Alternativa B: Obter soma 12 pelo menos uma vez em 24 jogadas de dois dados.
- Número de tentativas,
- Probabilidade de sucesso (soma 12 em dois dados),
Primeiro, calculamos
, que é a probabilidade de não obter soma 12 em nenhuma das 24 jogadas.
Calculando isso:
Então, a probabilidade de pelo menos uma soma 12 é:
Resposta
Comparando as duas alternativas:
- Alternativa A: 51,77%
- Alternativa B: 49,14%
Portanto, a Alternativa A (obter pelo menos um 6 em 4 jogadas de um dado) tem uma probabilidade ligeiramente maior de acontecer.