A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa salarial dos funcionários de uma empresa que usam bicicleta para ir ao trabalho.
Calcule a média, a moda (de Czuber), a mediana, a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos salários desses funcionários.
Faixa salarial em reais Número de funcionários
350 vDash 450 380
450 vDash 550 260
550 vdash 650 200
650 vdash 750 180
750 vdash-850 120
850 vdash 950 60
Total 1200
Figura 5 - Faixa salarial dos funcionários

Passo 1

Então, temos um exercício que nos pede para calcular várias medidas estatísticas relacionadas aos salários dos funcionários que usam bicicleta para ir ao trabalho. A tabela nos dá diferentes faixas salariais e o número de funcionários em cada faixa. Vamos precisar calcular a média, moda (usando a fórmula de Czuber), mediana, amplitude total, variância, desvio padrão e coeficiente de variação desses salários. Para isso, vamos usar conceitos de estatística como distribuição de frequência, medidas de tendência central e dispersão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a tabela de frequência. Temos as faixas salariais e quantos funcionários estão em cada faixa. Para facilitar os cálculos, podemos encontrar o ponto médio de cada faixa salarial multiplicando o valor inferior e superior de cada faixa por 0,5 e somando os resultados.

Passo 3

Vamos calcular o ponto médio ( Faixa 350450: & xi = 350 + 4502 = 400 Faixa 450550: & xi = 450 + 5502 = 500 Faixa 550650: & xi = 550 + 6502 = 600 Faixa 650750: & xi = 650 + 7502 = 700 Faixa 750850: & xi = 750 + 8502 = 800 Faixa 850950: & xi = 850 + 9502 = 900 ) de cada faixa salarial:

Passo 4

Agora, vamos calcular a média ( barx = sum (fi times xi)N ) usando a fórmula:
400 times 380 &= 152,000 500 times 260 &= 130,000 600 times 200 &= 120,000 700 times 180 &= 126,000 800 times 120 &= 96,000 900 times 60 &= 54,000
Onde 152,000 + 130,000 + 120,000 + 126,000 + 96,000 + 54,000 = 678,000 é a frequência de cada faixa, barx = 678,0001,200 = 565 é o ponto médio e é o total de funcionários.
Vamos calcular para cada faixa:
Somando tudo:
Agora, dividimos pelo total de funcionários:

Passo 5

A média salarial dos funcionários que usam bicicleta para ir ao trabalho é de R$565,00.

Passo 6

Para encontrar a moda usando a fórmula de Czuber, precisamos identificar a classe modal, que é a faixa com o maior número de funcionários. Observando os dados, a faixa 350–450 tem a maior frequência (380 funcionários), então essa será nossa classe modal.
A fórmula de Czuber é:
Moda = L + ( (fm - fm-1)(2fm - fm-1 - fm+1) ) times h
Onde:
  • é o limite inferior da classe modal,
  • é a frequência da classe modal,
  • é a frequência da classe anterior,
  • é a frequência da classe seguinte,
  • é a amplitude da classe.

Passo 7

Aplicando os valores:
L = 350, fm = 380, fm-1 = 0 (não há classe anterior), fm+1 = 260, h = 100 ãá
Como não há classe anterior à modal, podemos simplificar a fórmula:
Moda = 350 + ( (380)(2 times 380 - 0 - 260) ) times 100 = 350 + ( 380500 ) times 100 = 350 + 76 = 426

Passo 8

A moda salarial é de R$426,00.

Passo 9

Para encontrar a mediana, usamos a fórmula:
Mediana = L + ( N2 - Ff ) times h
Onde:
  • é o limite inferior da classe mediana,
  • é o número total de observações,
  • é a frequência acumulada antes da classe mediana,
  • é a frequência da classe mediana,
  • é a amplitude da classe.

Passo 10

Primeiro, encontramos 350450 & : 380 450550 & : 380 + 260 = 640 550650 & : 640 + 200 = 840 650750 & : 840 + 180 = 1,020 750850 & : 1,020 + 120 = 1,140 850950 & : 1,140 + 60 = 1,200 .
Agora, vamos construir a tabela de frequência acumulada:
L = 450, F = 380, f = 260, h = 100
A mediana está na segunda faixa (450–550), pois a frequência acumulada atinge 640, que �� maior que 600.
Vamos aplicar a fórmula:
Mediana = 450 + ( 600 - 380260 ) times 100 = 450 + ( 220260 ) times 100 approx 450 + 84.62 = 534.62

Passo 11

A mediana salarial é de aproximadamente R$534,62.

Passo 12

A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor salário da distribuição. Observando as faixas:
Maior salário = 950, Menor salário = 350 áá
Amplitude Total = 950 - 350 = 600

Passo 13

A amplitude total dos salários é de R$600,00.

Passo 14

Para calcular a variância ( sigma^2 = sum (fi times (xi - barx)^2)N ), usamos a fórmula:
Onde é a média que calculamos anteriormente.

Passo 15

Vamos calcular 400 - 565 &= -165, (-165)^2 = 27,225 500 - 565 &= -65, (-65)^2 = 4,225 600 - 565 &= 35, 35^2 = 1,225 700 - 565 &= 135, 135^2 = 18,225 800 - 565 &= 235, 235^2 = 55,225 900 - 565 &= 335, 335^2 = 112,225 para cada faixa:
27,225 times 380 &= 10,319,500 4,225 times 260 &= 1,098,500 1,225 times 200 &= 245,000 18,225 times 180 &= 3,280,500 55,225 times 120 &= 6,627,000 112,225 times 60 &= 6,733,500
Agora, multiplicamos cada resultado por sua frequência:
10,319,500 + 1,098,500 + 245,000 + 3,280,500 + 6,627,000 + 6,733,500 = 27,303,000
Somando tudo:
sigma^2 = 27,303,0001,200 = 22,752.5
Agora, dividimos pela quantidade total de funcionários:

Passo 16

A variância salarial é de R$22,752.50.

Passo 17

O desvio padrão ( sigma = raiz22,752.5 approx 150.84 ) é a raiz quadrada da variância:

Passo 18

O desvio padrão salarial é de aproximadamente R$150,84.

Passo 19

O coeficiente de variação ( CV = ( sigmabarx ) times 100% ) é calculado pela fórmula:
CV = ( 150.84565 ) times 100% approx 26.7%
Onde é o desvio padrão e é a média.

Resposta

  • Média: R$565,00
  • Moda (de Czuber): R$426,00
  • Mediana: R$534,62
  • Amplitude Total: R$600,00
  • Variância: R$22,752.50
  • Desvio Padr��o: R$150,84
  • Coeficiente de Variação: 26.7%

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