Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos R por bola branca retirada e perdermos por bola branca retirada e perdermos por bola preta retirada.
a) Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;
b) Faça o gráfico da função de distribuição acumulada do lucro;
c) Encontre o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro;
d Calcule o desvio padrão do lucro.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 pretas, totalizando 12 bolas. Vamos retirar 3 bolas de uma vez. Cada bola branca que tiramos nos dá um lucro de R$200, enquanto cada bola preta gera uma perda de R$100. Vamos calcular diferentes aspectos desse lucro usando conceitos de probabilidade.

Passo 2

Para resolver esse problema, precisamos entender o conceito de distribuição de probabilidade. Especificamente, vamos identificar todas as possíveis combinações de bolas brancas e pretas que podem ser retiradas e calcular a probabilidade de cada cenário ocorrer.

Passo 3

Vamos listar as possíveis quantidades de bolas brancas que podemos tirar ao retirar 3 bolas:
  • 0 bolas brancas e 3 bolas pretas
  • 1 bola branca e 2 bolas pretas
  • 2 bolas brancas e 1 bola preta
  • 3 bolas brancas e 0 bolas pretas

Passo 4

Agora, para cada caso, vamos calcular o lucro correspondente:
  • 0 brancas: Lucro = 0 × R$200 + 3 × (-R$100) = -R$300
  • 1 branca: Lucro = 1 × R$200 + 2 × (-R$100) = R$0
  • 2 brancas: Lucro = 2 × R$200 + 1 × (-R$100) = R$300
  • 3 brancas: Lucro = 3 × R$200 + 0 × (-R$100) = R$600

Passo 5

Vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários usando combinações. A fórmula para a combinação é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Onde é o total de itens e é o número de itens escolhidos.

Passo 6

Calculando o número total de maneiras de escolher 3 bolas de 12:
C(12, 3) = 12!3! times 9! = 220

Passo 7

Agora, calculamos as combinações para cada cenário:
  • 0 brancas:
C(5, 0) times C(7, 3) = 1 times 35 = 35
  • 1 branca:
C(5, 1) times C(7, 2) = 5 times 21 = 105
  • 2 brancas:
C(5, 2) times C(7, 1) = 10 times 7 = 70
  • 3 brancas:
C(5, 3) times C(7, 0) = 10 times 1 = 10

Passo 8

Agora, calculamos a probabilidade de cada cenário dividindo o número de combinações do cenário pelo total de combinações:
  • 0 brancas:
P(0) = 35220 = 0,1591
  • 1 branca:
P(1) = 105220 = 0,4773
  • 2 brancas:
P(2) = 70220 = 0,3182
  • 3 brancas:
P(3) = 10220 = 0,0455

Passo 9

Agora, juntamos os lucros e suas respectivas probabilidades para construir a função de massa de probabilidade do lucro:
|c|c| hline Lucro (R$) & Probabilidade hline -300 & 0,1591 0 & 0,4773 300 & 0,3182 600 & 0,0455 hline

Resposta

A função de massa de probabilidade do lucro é:
|c|c| hline Lucro (R$) & Probabilidade hline -300 & 0,1591 0 & 0,4773 300 & 0,3182 600 & 0,0455 hline

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