Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos
por bola branca retirada e perdermos
por bola preta retirada.
a) Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;
b) Faça o gráfico da função de distribuição acumulada do lucro;
c) Encontre o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro;
d Calcule o desvio padrão do lucro.
a) Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;
b) Faça o gráfico da função de distribuição acumulada do lucro;
c) Encontre o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro;
d Calcule o desvio padrão do lucro.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 pretas, totalizando 12 bolas. Vamos retirar 3 bolas de uma vez. Cada bola branca que tiramos nos dá um lucro de R$200, enquanto cada bola preta gera uma perda de R$100. Vamos calcular diferentes aspectos desse lucro usando conceitos de probabilidade.
Passo 2
Para resolver esse problema, precisamos entender o conceito de distribuição de probabilidade. Especificamente, vamos identificar todas as possíveis combinações de bolas brancas e pretas que podem ser retiradas e calcular a probabilidade de cada cenário ocorrer.
Passo 3
Vamos listar as possíveis quantidades de bolas brancas que podemos tirar ao retirar 3 bolas:
- 0 bolas brancas e 3 bolas pretas
- 1 bola branca e 2 bolas pretas
- 2 bolas brancas e 1 bola preta
- 3 bolas brancas e 0 bolas pretas
Passo 4
Agora, para cada caso, vamos calcular o lucro correspondente:
- 0 brancas: Lucro = 0 × R$200 + 3 × (-R$100) = -R$300
- 1 branca: Lucro = 1 × R$200 + 2 × (-R$100) = R$0
- 2 brancas: Lucro = 2 × R$200 + 1 × (-R$100) = R$300
- 3 brancas: Lucro = 3 × R$200 + 0 × (-R$100) = R$600
Passo 5
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários usando combinações. A fórmula para a combinação é:
Onde
é o total de itens e
é o número de itens escolhidos.
Passo 6
Calculando o número total de maneiras de escolher 3 bolas de 12:
Passo 7
Agora, calculamos as combinações para cada cenário:
- 0 brancas:
- 1 branca:
- 2 brancas:
- 3 brancas:
Passo 8
Agora, calculamos a probabilidade de cada cenário dividindo o número de combinações do cenário pelo total de combinações:
- 0 brancas:
- 1 branca:
- 2 brancas:
- 3 brancas:
Passo 9
Agora, juntamos os lucros e suas respectivas probabilidades para construir a função de massa de probabilidade do lucro:
Resposta
A função de massa de probabilidade do lucro é:
Exercícios relacionados
A tabela abaixo mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa salarial dos funcionários de uma empresa que usam bicicleta para ir ao trabalho.
Calcule a média, a moda (de Czuber), a mediana, a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos salários desses funcionários.
Calcule a média, a moda (de Czuber), a mediana, a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos salários desses funcionários.
Faixa salarial em reais | Número de funcionários |
---|---|
|
380 |
|
260 |
|
200 |
|
180 |
|
120 |
|
60 |
Total | 1200 |
Figura 5 - Faixa salarial dos funcionários
Os salários dos diretores das empresas de São Paulo distribuem-se normalmente com média de R
e desvio-padrão de
. Qual a porcentagem de diretores que recebem:
b) Entre R e R
?
b) Entre R
Considerando as alternativas A ou B, a seguir, determine qual o resultado mais provável. Use a distribuição binomial.
A: obter pelo menos um 6 em 4 jogadas de 1 dado
B: obter soma 12 pelo menos uma vez em 24 jogadas de 2 dados
A: obter pelo menos um 6 em 4 jogadas de 1 dado
B: obter soma 12 pelo menos uma vez em 24 jogadas de 2 dados
Seja
. Determine a média e a variância da variável aleatória
.