Seja X sim Bin(20 ; 0,3). Determine a média e a variância da variável aleatória Y=3 X+2.

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros e . O que a gente precisa encontrar é a média e a variância de outra variável aleatória , que é definida por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a média ( E[X] = n cdot p ) de uma variável binomial. A fórmula é:
E[X] = 20 cdot 0,3 = 6
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância ( Var(X) = n cdot p cdot (1 - p) ) da variável binomial. A fórmula é:
Var(X) = 20 cdot 0,3 cdot 0,7 = 4,2
Substituindo os valores:

Passo 4

Como queremos encontrar a média e a variância da variável E[Y] = 3 cdot E[X] + 2 , vamos usar as propriedades das transformações lineares.
  • Média de Y:
E[Y] = 3 cdot 6 + 2 = 20
Substituindo Var(Y) = 3^2 cdot Var(X) :
Var(Y) = 9 cdot 4,2 = 37,8
  • Variância de Y:
Substituindo :

Resposta

A média da variável é e a variância é .

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