Considerando que o Cobre tem uma distribuição eletrônica cuja camada de valência é 4s1, está organizado em uma estrutura CFC e seu parâmetro de rede é de 3,61 AA : Com base na aproximação do Gás de Fermi, calcule a energia de Fermi do material e explique o significado desse nível de energia.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a Energia de Fermi do cobre usando a aproximação do Gás de Fermi. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre física do estado sólido, especialmente sobre como os elétrons se comportam em metais. Vamos usar informações como a distribuição eletrônica do cobre, sua estrutura cristalina (CFC - Cubo de Face Centrada) e o parâmetro de rede fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a densidade de elétrons no cobre. Sabemos que cada átomo de cobre contribui com 1 elétron de valência (4s¹). Em uma estrutura CFC, cada célula unitária tem 4 átomos. O parâmetro de rede a = 3,61 times 10^-10 , m é 3,61 Å, que vamos converter para metros:

Passo 3

O volume da célula unitária Vcélula = a^3 = (3,61 times 10^-10)^3 = 4,70 times 10^-29 , m^3 é é dado por:
é

Passo 4

Como temos 4 átomos por célula e cada átomo contribui com 1 elétron, temos 4 elétrons por célula. A densidade de elétrons n = 4Vcélula = 44,70 times 10^-29 approx 8,51 times 10^28 , elétrons/m^3 é então:
éé

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da Energia de Fermi para um gás de elétrons:
EF = hbar^22m (3pi^2 n)^2/3
Onde:
  • é a constante de Planck reduzida ( )
  • é a massa do elétron ( )
  • é a densidade de elétrons que calculamos

Passo 6

Vamos calcular 3pi^2 n = 3 times pi^2 times 8,51 times 10^28 approx 8,01 times 10^29 :
(3pi^2 n)^2/3 = (8,01 times 10^29)^2/3 approx 1,19 times 10^20 , m^-2

Passo 7

Agora, substituindo tudo na fórmula da Energia de Fermi:
EF = (1,055 times 10^-34)^22 times 9,109 times 10^-31 times 1,19 times 10^20
EF = 1,113 times 10^-681,822 times 10^-30 times 1,19 times 10^20
EF approx 1,113 times 10^-681,822 times 10^-30 times 1,19 times 10^20
EF approx 7,30 times 10^-19 , J

Passo 8

Para deixar a energia mais compreensível, vamos converter de Joules para elétron-volts (eV). Sabemos que EF = 7,30 times 10^-191,602 times 10^-19 approx 4,56 , eV :

Resposta

A Energia de Fermi do cobre, calculada pela aproximação do Gás de Fermi, é aproximadamente 4,56 eV. Isso significa que, à temperatura quase zero, os elétrons no cobre ocupam níveis de energia até cerca de 4,56 eV. Essa energia representa o nível máximo de energia que os elétrons possuem no estado fundamental do material.

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