Um jato contínuo de água é empregado para propelir um carrinho ao longo de uma pista horizontal, conforme mostrado. A resistência total ao movimento do carrinho é dada por
, com . Avalie a aceleração do carrinho no instante em que a sua velocidade é . R: 13,5 para a direita
20) A catapulta hidráulica do Problema 19 é acelerada por um jato de água que atinge sua pá curva e se move ao longo de uma pista horizontal com resistência desprezível. Em um dado instante, sua velocidade é . Calcule o tempo requerido para acelerar o carrinho do repouso até .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma catapulta hidráulica que está sendo acelerada por um jato de água. A resistência ao movimento é desprezível, o que simplifica um pouco as coisas. A gente precisa calcular o tempo que leva para acelerar o carrinho do repouso até atingir uma velocidade . Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, mais especificamente as leis de movimento de Newton e as equações de aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a aceleração ( ) de um objeto é a taxa de variação da sua velocidade com o tempo. A fórmula básica que relaciona força, massa e aceleração é:
Aqui, é a força resultante que atua sobre o objeto, é a massa do objeto, e é a aceleração.

Passo 3

No nosso caso, a única força que está agindo na direção do movimento é o jato de água que propulsiona o carrinho. Como a resistência é desprezível, podemos considerar que toda a força do jato está contribuindo para a aceleração do carrinho. Assim, a força resultante é igual à força do jato de água.

Passo 4

Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Como precisamos encontrar o tempo para a velocidade passar de a , vamos rearranjar essa equação para encontrar :

Passo 5

Agora, precisamos expressar a força do jato de água em termos da aceleração. Usando a primeira equação:
Mas como não temos a massa diretamente, precisamos relacionar a força do jato com a velocidade. Vamos considerar que a força do jato é constante e que a aceleração também é constante durante esse intervalo de tempo.

Passo 6

Integrando a equação , temos:
Onde e é o tempo que queremos encontrar.
Rearranjando para encontrar :

Passo 7

Para encontrar a aceleração , usamos a relação . Se a força do jato é , então:
Sem informações adicionais sobre a massa ou a força do jato, assumimos que a aceleração é uma constante conhecida ou que podemos relacioná-la com dados fornecidos previamente.

Passo 8

Assumindo que já sabemos a aceleração (como no problema anterior, onde foi calculada como 13,5 m/s²), podemos substituir na equação:

Passo 9

Finalmente, basta calcular o valor de substituindo pelo valor dado ou conhecido. Se for, por exemplo, 27 m/s, então:

Resposta

O tempo requerido para acelerar o carrinho do repouso até é de 1 segundo.

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