Um jato contínuo de água é empregado para propelir um carrinho ao longo de uma pista horizontal, conforme mostrado. A resistência total ao movimento do carrinho é dada por
, com
. Avalie a aceleração do carrinho no instante em que a sua velocidade é
. R: 13,5
para a direita
20) A catapulta hidráulica do Problema 19 é acelerada por um jato de água que atinge sua pá curva e se move ao longo de uma pista horizontal com resistência desprezível. Em um dado instante, sua velocidade é
. Calcule o tempo requerido para acelerar o carrinho do repouso até
.
20) A catapulta hidráulica do Problema 19 é acelerada por um jato de água que atinge sua pá curva e se move ao longo de uma pista horizontal com resistência desprezível. Em um dado instante, sua velocidade é
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma catapulta hidráulica que está sendo acelerada por um jato de água. A resistência ao movimento é desprezível, o que simplifica um pouco as coisas. A gente precisa calcular o tempo que leva para acelerar o carrinho do repouso até atingir uma velocidade
. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, mais especificamente as leis de movimento de Newton e as equações de aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a aceleração (
) de um objeto é a taxa de variação da sua velocidade com o tempo. A fórmula básica que relaciona força, massa e aceleração é:
Aqui,
é a força resultante que atua sobre o objeto,
é a massa do objeto, e
é a aceleração.
Passo 3
No nosso caso, a única força que está agindo na direção do movimento é o jato de água que propulsiona o carrinho. Como a resistência é desprezível, podemos considerar que toda a força do jato está contribuindo para a aceleração do carrinho. Assim, a força resultante
é igual à força do jato de água.
Passo 4
Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Como precisamos encontrar o tempo para a velocidade passar de
a
, vamos rearranjar essa equação para encontrar
:
Passo 5
Agora, precisamos expressar a força do jato de água em termos da aceleração. Usando a primeira equação:
Mas como não temos a massa
diretamente, precisamos relacionar a força do jato com a velocidade. Vamos considerar que a força do jato é constante e que a aceleração também é constante durante esse intervalo de tempo.
Passo 6
Integrando a equação
, temos:
Onde
e
é o tempo que queremos encontrar.
Rearranjando para encontrar
:
Passo 7
Para encontrar a aceleração
, usamos a relação
. Se a força do jato é
, então:
Sem informações adicionais sobre a massa ou a força do jato, assumimos que a aceleração
é uma constante conhecida ou que podemos relacioná-la com dados fornecidos previamente.
Passo 8
Assumindo que já sabemos a aceleração
(como no problema anterior, onde foi calculada como 13,5 m/s²), podemos substituir na equação:
Passo 9
Finalmente, basta calcular o valor de
substituindo
pelo valor dado ou conhecido. Se
for, por exemplo, 27 m/s, então:
Resposta
O tempo requerido para acelerar o carrinho do repouso até
é de 1 segundo.
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