Considerando o coeficiente de correlação de Pearson dado por
rho=sumi=1^n(xi-barx)(yi-bary)raizsumi=1^n(xi-barx)^2 raizsumi=1^n(yi-bary)^2
Dê uma interpretação geométria para rho como sendo o cosseno do ângulo entre os vetores X=(x1-barx, x2-barx, cdots, xn-barx) e Y=(y1-bary, y2-bary, cdots, yn-bary).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o coeficiente de correlação de Pearson, representado por rho. Esse coeficiente mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. Para entender isso de um jeito visual, vamos interpretar rho como o cosseno do ângulo entre dois vetores. Os vetores são formados pelos desvios de cada dado em relação às suas médias, ou seja, X = (x1-barx, x2-barx, cdots, xn-barx) e Y = (y1-bary, y2-bary, cdots, yn-bary). Vamos precisar entender o que é o cosseno do ângulo entre vetores e como isso se relaciona com o coeficiente de correlação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno do ângulo entre dois vetores A e B é dado pela fórmula:
cos(theta) = A cdot B|A| |B|
Aqui, A cdot B é o produto interno (ou produto escalar) dos vetores, e |A| e |B| são as normas (ou comprimentos) dos vetores. Esse cosseno nos dá uma ideia de quão “alinhados” os vetores estão.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos nossos vetores X e Y. O produto interno X cdot Y é:
X cdot Y = sumi=1^n (xi - barx)(yi - bary)
E as normas dos vetores são:
|X| = raizsumi=1^n (xi - barx)^2 e |Y| = raizsumi=1^n (yi - bary)^2

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do cosseno, temos:
cos(theta) = sumi=1^n (xi - barx)(yi - bary)raizsumi=1^n (xi - barx)^2 raizsumi=1^n (yi - bary)^2
Observamos que essa expressão é exatamente a definição do coeficiente de correlação de Pearson, rho.

Passo 5

Então, o que isso significa geometricamente? Significa que rho representa o cosseno do ângulo theta entre os vetores X e Y. Se rho for próximo de 1, o ângulo é pequeno, indicando que os vetores estão quase na mesma direção, ou seja, há uma forte correlação positiva. Se rho for próximo de -1, o ângulo é próximo de 180 graus, indicando uma forte correlação negativa. E se rho for próximo de 0, os vetores são quase perpendiculares, indicando pouca ou nenhuma correlação linear.

Resposta

Geometricamente, o coeficiente de correlação de Pearson rho é o cosseno do ângulo entre os vetores X e Y. Isso significa que rho mede o quão alinhados esses vetores estão: rho = 1 indica alinhamento perfeito na mesma direção, rho = -1 indica alinhamento perfeito em direções opostas, e rho = 0 indica que os vetores são perpendiculares, sem correlação linear.

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