Considerando o coeficiente de correlação de Pearson dado por
Dê uma interpretação geométria para como sendo o cosseno do ângulo entre os vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o coeficiente de correlação de Pearson, representado por . Esse coeficiente mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. Para entender isso de um jeito visual, vamos interpretar como o cosseno do ângulo entre dois vetores. Os vetores são formados pelos desvios de cada dado em relação às suas médias, ou seja, e . Vamos precisar entender o que é o cosseno do ângulo entre vetores e como isso se relaciona com o coeficiente de correlação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o cosseno do ângulo entre dois vetores e é dado pela fórmula:
Aqui, é o produto interno (ou produto escalar) dos vetores, e e são as normas (ou comprimentos) dos vetores. Esse cosseno nos dá uma ideia de quão “alinhados” os vetores estão.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso aos nossos vetores e . O produto interno é:
E as normas dos vetores são:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula do cosseno, temos:
Observamos que essa expressão é exatamente a definição do coeficiente de correlação de Pearson, rho.
Passo 5
Então, o que isso significa geometricamente? Significa que rho representa o cosseno do ângulo theta entre os vetores X e Y. Se rho for próximo de 1, o ângulo é pequeno, indicando que os vetores estão quase na mesma direção, ou seja, há uma forte correlação positiva. Se rho for próximo de -1, o ângulo é próximo de 180 graus, indicando uma forte correlação negativa. E se rho for próximo de 0, os vetores são quase perpendiculares, indicando pouca ou nenhuma correlação linear.
Resposta
Geometricamente, o coeficiente de correlação de Pearson rho é o cosseno do ângulo entre os vetores X e Y. Isso significa que rho mede o quão alinhados esses vetores estão: rho = 1 indica alinhamento perfeito na mesma direção, rho = -1 indica alinhamento perfeito em direções opostas, e rho = 0 indica que os vetores são perpendiculares, sem correlação linear.