Defina Z=min (X, Y), W=max (X, Y). Determine fZ, W(z, w).

Passo 1

O enunciado nos pede para definir duas novas variáveis aleatórias e e determinar a função de densidade conjunta . Vamos utilizar conceitos de estatística de variáveis aleatórias contínuas, especialmente aqueles relacionados à transformação de variáveis e à determinação de funções de densidade conjuntas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que e são duas variáveis aleatórias contínuas independentes, cada uma com sua própria função de densidade de probabilidade e . A independência é importante porque nos permite multiplicar as densidades individuais para obter a densidade conjunta.

Passo 3

Queremos encontrar , a densidade conjunta de e . Para isso, precisamos entender como as variáveis e estão relacionadas a e .

Passo 4

Observamos que, para e , necessariamente uma das variáveis, digamos , deve ser igual a e a outra, , igual a , ou vice-versa. Como , temos que .

Passo 5

A probabilidade conjunta de fZ, W(z, w) = fX(z)fY(w) + fY(z)fX(w) e é a soma das probabilidades de dois eventos disjuntos:
  1. e
  2. e
Como e são independentes, a densidade conjunta é:

Passo 6

No entanto, devemos considerar que . Se , a densidade conjunta será zero, pois sempre será menor ou igual a .

Passo 7

Portanto, a função de densidade conjunta fZ, W(z, w) = fX(z)fY(w) + fY(z)fX(w) & se z <= w 0 & caso contrário é dada por:
á

Resposta

A função de densidade conjunta de fZ, W(z, w) = fX(z)fY(w) + fY(z)fX(w) & se z <= w 0 & caso contrário e é:
á

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