Defina
. Determine
.
Passo 1
O enunciado nos pede para definir duas novas variáveis aleatórias
e
e determinar a função de densidade conjunta
. Vamos utilizar conceitos de estatística de variáveis aleatórias contínuas, especialmente aqueles relacionados à transformação de variáveis e à determinação de funções de densidade conjuntas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que
e
são duas variáveis aleatórias contínuas independentes, cada uma com sua própria função de densidade de probabilidade
e
. A independência é importante porque nos permite multiplicar as densidades individuais para obter a densidade conjunta.
Passo 3
Queremos encontrar
, a densidade conjunta de
e
. Para isso, precisamos entender como as variáveis
e
estão relacionadas a
e
.
Passo 4
Observamos que, para
e
, necessariamente uma das variáveis, digamos
, deve ser igual a
e a outra,
, igual a
, ou vice-versa. Como
, temos que
.
Passo 5
A probabilidade conjunta de
e
é a soma das probabilidades de dois eventos disjuntos:
-
e -
e
Como
e
são independentes, a densidade conjunta é:
Passo 6
No entanto, devemos considerar que
. Se
, a densidade conjunta
será zero, pois
sempre será menor ou igual a
.
Passo 7
Portanto, a função de densidade conjunta
é dada por:
Resposta
A função de densidade conjunta de
e
é: