Considere a transformação: Y1=X1-X2, Y2=X1+X2. Determine a distribuição conjunta de Y1 e Y2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a distribuição conjunta de e a partir das transformações e . Estamos lidando com Transformações de Variáveis Aleatórias, que é um tópico dentro de Probabilidade e Estatística. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de mudança de variáveis e calcular o determinante Jacobiano.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar Y1 = X1 - X2 Y2 = X1 + X2 e Y1 + Y2 = (X1 - X2) + (X1 + X2) = 2X1 implies X1 = Y1 + Y22 em termos de Y2 - Y1 = (X1 + X2) - (X1 - X2) = 2X2 implies X2 = Y2 - Y12 e . Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo de :

Passo 3

Agora que temos J = partial X1partial Y1 & partial X1partial Y2 partial X2partial Y1 & partial X2partial Y2 = 12 & 12 -12 & 12 e em termos de e , podemos encontrar a matriz jacobiana dessa transformação. O jacobiano é usado para ajustar a densidade de probabilidade quando fazemos uma mudança de variável.
A matriz jacobiana é:

Passo 4

Calculamos o determinante do jacobiano |J| = ( 12 times 12 ) - ( 12 times -12 ) = 14 + 14 = 12 :

Passo 5

Assumindo que conhecemos a distribuição conjunta fY1,Y2(y1, y2) = fX1,X2( y1 + y22, y2 - y12 ) times |J| , a distribuição conjunta de fY1,Y2(y1, y2) = fX1,X2( y1 + y22, y2 - y12 ) times 12 e é dada por:
Substituindo o determinante que calculamos:

Resposta

A distribuição conjunta de fY1,Y2(y1, y2) = 12 , fX1,X2( y1 + y22, y2 - y12 ) e é:

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