Considere a transformação:
. Determine a distribuição conjunta de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a distribuição conjunta de
e
a partir das transformações
e
. Estamos lidando com Transformações de Variáveis Aleatórias, que é um tópico dentro de Probabilidade e Estatística. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de mudança de variáveis e calcular o determinante Jacobiano.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar
e
em termos de
e
. Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo
de
:
Passo 3
Agora que temos
e
em termos de
e
, podemos encontrar a matriz jacobiana dessa transformação. O jacobiano é usado para ajustar a densidade de probabilidade quando fazemos uma mudança de variável.
A matriz jacobiana
é:
Passo 4
Calculamos o determinante do jacobiano
:
Passo 5
Assumindo que conhecemos a distribuição conjunta
, a distribuição conjunta de
e
é dada por:
Substituindo o determinante que calculamos:
Resposta
A distribuição conjunta de
e
é: