Em um dado instante, o automóvel A, com velocidade escalar constante Va=30 km/h, passa pelo km 14 de uma estrada retilínea. No mesmo instante, um automóvel B, com velocidade escalar constante Vb=50 km/h, passa pelo km 10 da mesma estrada. Se os dois automóveis possuem movimento progressivo, em qual km da estrada os dois se encontrarão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos sem considerar o que está causando esse movimento. Aqui, dois carros estão se movendo em direções progressivas (ou seja, na mesma direção) em uma estrada reta. O carro A está a 30 km/h passando pelo km 14, e o carro B está a 50 km/h passando pelo km 10 no mesmo instante. Queremos descobrir em qual quilômetro da estrada esses dois carros vão se encontrar. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da posição em função do tempo para cada carro e igualar as duas para encontrar o ponto de encontro.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as equações que representam a posição de cada carro ao longo do tempo. A fórmula básica para a posição é:
Posição = Posição Inicial + Velocidade times Tempo çãçã
Então, para o carro A:
xA(t) = 14, km + 30, kmh times t
E para o carro B:
xB(t) = 10, km + 50, kmh times t
Aqui, $ x_A(t) $ e $ x_B(t) $ representam a posição dos carros A e B em função do tempo $ t $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o tempo $ t $ em que as posições dos dois carros serão iguais, ou seja, quando $ x_A(t) = x_B(t) $. Isso significa que os dois carros estarão no mesmo quilômetro.
Então, igualamos as duas equações:
t

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ t $.
Primeiro, vamos subtrair $ 14 $ de ambos os lados:
t
Em seguida, subtraímos $ 30t $ de ambos os lados para isolar o termo com $ t $:
14
Agora, adicionamos $ 4 $ a ambos os lados:
30t = -4 + 50t
Por fim, dividimos ambos os lados por $ 20 $ para encontrar $ t $:
30t

Passo 5

Agora que sabemos que os carros se encontrarão após $ 0,2 $ horas, vamos converter esse tempo para minutos para facilitar a compreensão. Sabemos que:
0,2
Então, os carros vão se encontrar 12 minutos após passarem pelos respectivos quilômetros iniciais.

Passo 6

Por fim, vamos encontrar em qual quilômetro da estrada os carros se encontram. Podemos usar a equação de posição de qualquer um dos carros. Vamos usar o carro A:
xA(t) = 14, km + 30, kmh times 0,2, h = 14 + 6 = 20, km

Resposta

Os dois automóveis se encontrarão no km 20 da estrada.

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