Elabore detalhadamente o lugar das raízes de um sistema de controle com ganho proporcional e realimentação unitária, salientando os ganhos em cada ponto importante. A função de transferência da planta GP(s) é dada a seguir
GP(s)=1s^3+3 s^2+2 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para elaborar o lugar das raízes de um sistema de controle que usa ganho proporcional e realimentação unitária. Para isso, vamos trabalhar com a função de transferência da planta que é . O conteúdo que vamos usar aqui é o de Lugar das Raízes, que nos ajuda a entender como os polos do sistema se movem quando ajustamos o ganho proporcional. Precisamos entender os polos do sistema aberto e aplicar as regras do lugar das raízes para traçar o caminho que esses polos seguirão conforme o ganho varia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos do sistema aberto, que são os valores de s(s^2 + 3s + 2) = 0 que tornam o denominador da função de transferência igual a zero. Ou seja, precisamos resolver s = -3 pm raiz9 - 82 = -3 pm 12 . Podemos fatorar essa equação:
Assim, temos um polo em e os outros polos são as raízes de . Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Portanto, os polos estão em , e .

Passo 3

Agora que identificamos os polos, vamos aplicar as regras do lugar das raízes para traçar o caminho dos polos do sistema conforme o ganho proporcional thetaa = (2q + 1)180^circn - m varia de 0 a infinito.
Primeira regra: o lugar das raízes começa nos polos do sistema aberto e termina nos zeros. Como nosso sistema não tem zeros (o numerador é constante), os ramos do lugar das raízes vão ao infinito.
Segunda regra: contamos quantos ramos vão para o infinito, que é igual ao número de zeros menos o número de polos. Como temos 0 zeros e 3 polos, temos 3 ramos indo para o infinito.
Terceira regra: os assíntotas determinam a direção para onde os ramos vão quando thetaa = (2q + 1)180^circ3 tende ao infinito. A fórmula para as assíntotas é:
onde é o número de polos (3), é o número de zeros (0), e é 0, 1, 2, etc. Então, as assíntotas estarão em:
Para :
Para :
Para :
Essas são as direções para onde os ramos se dirigem no infinito.

Passo 4

Vamos encontrar o ponto de interseção das assíntotas com o eixo real, conhecido como o ponto de encontro das assíntotas. A fórmula para isso é:
sigma = sum Polos - sum Zerosn - m
Neste caso:
sigma = 0 + (-1) + (-2) - 03 - 0 = -33 = -1
Então, as assíntotas se cruzam no ponto no eixo real.

Passo 5

Agora, vamos determinar onde os ramos se partem (pontos de partida dos polos) e onde se encontram (se houver pontos de encontro). Como temos três polos e nenhum zero, todos os três ramos começam nos polos em , e e se dirigem em direção às assíntotas.
Como não há interseções adicionais no eixo real além dos polos, não temos pontos de encontro dentro do sistema.

Passo 6

Com tudo isso, podemos desenhar qualitativamente o lugar das raízes:
  • Um ramo sai do polo em em direção à assíntota de .
  • Um ramo sai do polo em em direção à assíntota de .
  • Um ramo sai do polo em em direção à assíntota de .
Esses ramos mostram como os polos do sistema se movem conforme aumentamos o ganho .

Resposta

O lugar das raízes do sistema com a função de transferência inicia-se nos polos em , e e segue três ramos: um em direção à assíntota de , outro em e o terceiro em . As assíntotas se encontram no ponto no eixo real. Conforme o ganho proporcional aumenta, os polos se deslocam ao longo desses caminhos, garantindo a estabilidade e o comportamento desejado do sistema.

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