Elabore detalhadamente o lugar das raízes de um sistema de controle com ganho proporcional e realimentação unitária, salientando os ganhos em cada ponto importante. A função de transferência da planta
é dada a seguir
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para elaborar o lugar das raízes de um sistema de controle que usa ganho proporcional e realimentação unitária. Para isso, vamos trabalhar com a função de transferência da planta que é
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de Lugar das Raízes, que nos ajuda a entender como os polos do sistema se movem quando ajustamos o ganho proporcional. Precisamos entender os polos do sistema aberto e aplicar as regras do lugar das raízes para traçar o caminho que esses polos seguirão conforme o ganho varia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos do sistema aberto, que são os valores de
que tornam o denominador da função de transferência igual a zero. Ou seja, precisamos resolver
. Podemos fatorar essa equação:
Assim, temos um polo em
e os outros polos são as raízes de
. Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:
Portanto, os polos estão em
,
e
.
Passo 3
Agora que identificamos os polos, vamos aplicar as regras do lugar das raízes para traçar o caminho dos polos do sistema conforme o ganho proporcional
varia de 0 a infinito.
Primeira regra: o lugar das raízes começa nos polos do sistema aberto e termina nos zeros. Como nosso sistema não tem zeros (o numerador é constante), os ramos do lugar das raízes vão ao infinito.
Segunda regra: contamos quantos ramos vão para o infinito, que é igual ao número de zeros menos o número de polos. Como temos 0 zeros e 3 polos, temos 3 ramos indo para o infinito.
Terceira regra: os assíntotas determinam a direção para onde os ramos vão quando
tende ao infinito. A fórmula para as assíntotas é:
onde
é o número de polos (3),
é o número de zeros (0), e
é 0, 1, 2, etc. Então, as assíntotas estarão em:
Para
:
Para
:
Para
:
Essas são as direções para onde os ramos se dirigem no infinito.
Passo 4
Vamos encontrar o ponto de interseção das assíntotas com o eixo real, conhecido como o ponto de encontro das assíntotas. A fórmula para isso é:
Neste caso:
Então, as assíntotas se cruzam no ponto
no eixo real.
Passo 5
Agora, vamos determinar onde os ramos se partem (pontos de partida dos polos) e onde se encontram (se houver pontos de encontro). Como temos três polos e nenhum zero, todos os três ramos começam nos polos em
,
e
e se dirigem em direção às assíntotas.
Como não há interseções adicionais no eixo real além dos polos, não temos pontos de encontro dentro do sistema.
Passo 6
Com tudo isso, podemos desenhar qualitativamente o lugar das raízes:
- Um ramo sai do polo em
em direção à assíntota de . - Um ramo sai do polo em
em direção à assíntota de . - Um ramo sai do polo em
em direção à assíntota de .
Esses ramos mostram como os polos do sistema se movem conforme aumentamos o ganho
.
Resposta
O lugar das raízes do sistema com a função de transferência
inicia-se nos polos em
,
e
e segue três ramos: um em direção à assíntota de
, outro em
e o terceiro em
. As assíntotas se encontram no ponto
no eixo real. Conforme o ganho proporcional
aumenta, os polos se deslocam ao longo desses caminhos, garantindo a estabilidade e o comportamento desejado do sistema.