Considerando o domínio de discurso U = Z, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(d) ∃y(∀x(x+y=2)).

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado que temos é: “Considerando o domínio de discurso U = Z, determine se a afirmação ∃y(∀x(x+y=2)) é verdadeira ou falsa.” Aqui, estamos trabalhando com lógica matemática, mais especificamente com quantificadores existenciais ( ) e universais ( ). Para resolver isso, vamos analisar se existe algum número inteiro y que, somado a qualquer inteiro x, sempre dê 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. A expressão ∃y(∀x(x+y=2)) traduz para “Existe algum inteiro y tal que, para todo inteiro x, a soma de x e y é igual a 2.” Ou seja, estamos procurando um único valor de y que funcione para todos os valores de x.

Passo 3

Vamos tentar encontrar esse y. Suponha que exista um tal y. Então, para qualquer x que escolhermos, a equação deve ser verdadeira. Se escolhermos x = 1, então:
Então, y deveria ser 1. Mas será que isso funciona para outro valor de x? Vamos tentar :
Agora, y teria que ser -1. Mas isso é um problema porque y não pode ser simultaneamente 1 e -1.

Passo 4

Isso mostra que não existe um único valor de y que satisfaça a equação para todos os inteiros x. Portanto, não há um inteiro y que faça essa afirmação ser verdadeira para todo x no conjunto dos inteiros.

Resposta

A afirmação é falsa.

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