Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(b) Se e são dois números inteiros cujo produto é ímpar, então ambos têm de ser ímpares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que, se o produto de dois números inteiros e é ímpar, então os dois números também têm que ser ímpares. Vamos usar o método da contraposição, que basicamente diz que, em vez de provar “Se P, então Q”, a gente prova “Se não Q, então não P”. Para isso, vamos precisar entender sobre números pares e ímpares e como eles se comportam na multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar. Um número inteiro é par se ele pode ser dividido por 2 sem deixar resto, ou seja, existe algum inteiro tal que . Se não, o número é ímpar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da contraposição. Queremos provar que se o produto é ímpar, então e são ímpares. Pela contraposição, isso equivale a dizer: Se pelo menos um dos números ou é par, então o produto é par.

Passo 4

Vamos assumir que pelo menos um dos números, digamos , é par. Então, podemos escrever para algum inteiro .

Passo 5

Multiplicando por , temos:
Note que é um inteiro, vamos chamar de . Então:

Passo 6

Como , isso mostra que o produto é múltiplo de 2, ou seja, é par.

Passo 7

Portanto, provamos que se pelo menos um dos números ou é par, então o produto é par. Isso é a contraposição do que queríamos provar inicialmente.

Resposta

Assim, pelo método da contraposição, demonstramos que se é ímpar, então ambos e devem ser ímpares.

Exercícios relacionados

Demonstre as seguintes afirmações pelo método direto:
(a) Se divide e divide , então divide .
Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica. Em seguida, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas.
(e) Para todo , existe tal que se então .
Considerando o domínio de discurso , determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(d) .
Demonstre as seguintes afirmações pelo método que achar conveniente:
(a) Se e são números racionais, então e são números racionais.