Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(b) Se
e
são dois números inteiros cujo produto é ímpar, então ambos têm de ser ímpares.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que, se o produto de dois números inteiros
e
é ímpar, então os dois números também têm que ser ímpares. Vamos usar o método da contraposição, que basicamente diz que, em vez de provar “Se P, então Q”, a gente prova “Se não Q, então não P”. Para isso, vamos precisar entender sobre números pares e ímpares e como eles se comportam na multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar. Um número inteiro é par se ele pode ser dividido por 2 sem deixar resto, ou seja, existe algum inteiro
tal que
. Se não, o número é ímpar.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da contraposição. Queremos provar que se o produto
é ímpar, então
e
são ímpares. Pela contraposição, isso equivale a dizer: Se pelo menos um dos números
ou
é par, então o produto
é par.
Passo 4
Vamos assumir que pelo menos um dos números, digamos
, é par. Então, podemos escrever
para algum inteiro
.
Passo 5
Multiplicando
por
, temos:
Note que
é um inteiro, vamos chamar de
. Então:
Passo 6
Como
, isso mostra que o produto é múltiplo de 2, ou seja, é par.
Passo 7
Portanto, provamos que se pelo menos um dos números
ou
é par, então o produto
é par. Isso é a contraposição do que queríamos provar inicialmente.
Resposta
Assim, pelo método da contraposição, demonstramos que se
é ímpar, então ambos
e
devem ser ímpares.
Exercícios relacionados
Demonstre as seguintes afirmações pelo método direto:
(a) Se divide
e
divide
, então
divide
.
(a) Se
Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica. Em seguida, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas.
(e) Para todo , existe
tal que se
então
.
(e) Para todo
Considerando o domínio de discurso
, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(d) .
(d)
Demonstre as seguintes afirmações pelo método que achar conveniente:
(a) Se e
são números racionais, então
e
são números racionais.
(a) Se