Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(b) Se a e b são dois números inteiros cujo produto é ímpar, então ambos têm de ser ímpares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que, se o produto de dois números inteiros a e b é ímpar, então os dois números também têm que ser ímpares. Vamos usar o método da contraposição, que basicamente diz que, em vez de provar “Se P, então Q”, a gente prova “Se não Q, então não P”. Para isso, vamos precisar entender sobre números pares e ímpares e como eles se comportam na multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar. Um número inteiro é par se ele pode ser dividido por 2 sem deixar resto, ou seja, existe algum inteiro k tal que . Se não, o número é ímpar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da contraposição. Queremos provar que se o produto é ímpar, então a e b são ímpares. Pela contraposição, isso equivale a dizer: Se pelo menos um dos números a ou b é par, então o produto é par.

Passo 4

Vamos assumir que pelo menos um dos números, digamos a, é par. Então, podemos escrever para algum inteiro k.

Passo 5

Multiplicando a por b, temos:
Note que é um inteiro, vamos chamar de m. Então:

Passo 6

Como , isso mostra que o produto é múltiplo de 2, ou seja, é par.

Passo 7

Portanto, provamos que se pelo menos um dos números a ou b é par, então o produto é par. Isso é a contraposição do que queríamos provar inicialmente.

Resposta

Assim, pelo método da contraposição, demonstramos que se é ímpar, então ambos a e b devem ser ímpares.

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