Demonstre as seguintes afirmações pelo método direto:
(a) Se a divide b e a divide c, então a divide b + c.

Passo 1

No exercício de hoje, vamos provar que se um número a divide b e também divide c, então a divide a soma de b e c. Esse conceito está relacionado à divisibilidade na matemática, especificamente na teoria dos números. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e como manipular essas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que " a divide b". Isso quer dizer que existe um número inteiro k tal que . Ou seja, a multiplicado por algum inteiro resulta em b.

Passo 3

Da mesma forma, se a divide c, então existe um número inteiro m tal que . Aqui, m é outro inteiro que, quando multiplicado por a, dá c.

Passo 4

Agora, vamos considerar a soma de b e c. Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Podemos fatorar o a na expressão acima:
Isso acontece porque a está multiplicando ambos os termos k e m.

Passo 6

Observe que é a soma de dois inteiros, o que também é um inteiro. Vamos chamar essa soma de n, onde . Assim, a expressão fica:
Como n é um inteiro, isso mostra que a multiplica um inteiro para resultar em .

Resposta

Portanto, demonstramos que a divide .

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