Demonstre as seguintes afirmações pelo método direto:
(a) Se
divide
e
divide
, então
divide
.
(a) Se
Passo 1
No exercício de hoje, vamos provar que se um número
divide
e também divide
, então
divide a soma de
e
. Esse conceito está relacionado à divisibilidade na matemática, especificamente na teoria dos números. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e como manipular essas relações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que "
divide
". Isso quer dizer que existe um número inteiro
tal que
. Ou seja,
multiplicado por algum inteiro resulta em
.
Passo 3
Da mesma forma, se
divide
, então existe um número inteiro
tal que
. Aqui,
é outro inteiro que, quando multiplicado por
, dá
.
Passo 4
Agora, vamos considerar a soma de
e
. Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Podemos fatorar o
na expressão acima:
Isso acontece porque
está multiplicando ambos os termos
e
.
Passo 6
Observe que
é a soma de dois inteiros, o que também é um inteiro. Vamos chamar essa soma de
, onde
. Assim, a expressão fica:
Como
é um inteiro, isso mostra que
multiplica um inteiro para resultar em
.
Resposta
Portanto, demonstramos que
divide
.
Exercícios relacionados
Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica. Em seguida, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas.
(e) Para todo , existe
tal que se
então
.
(e) Para todo
Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica. Em seguida, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas.
(b) Para cada número real existe um número real
tal que
.
(b) Para cada número real
Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(b) Se e
são dois números inteiros cujo produto é ímpar, então ambos têm de ser ímpares.
(b) Se
Considerando o domínio de discurso
, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(d) .
(d)