Demonstre as seguintes afirmações pelo método direto:
(a) Se divide e divide , então divide .

Passo 1

No exercício de hoje, vamos provar que se um número divide e também divide , então divide a soma de e . Esse conceito está relacionado à divisibilidade na matemática, especificamente na teoria dos números. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e como manipular essas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que " divide ". Isso quer dizer que existe um número inteiro tal que . Ou seja, multiplicado por algum inteiro resulta em .

Passo 3

Da mesma forma, se divide , então existe um número inteiro tal que . Aqui, é outro inteiro que, quando multiplicado por , dá .

Passo 4

Agora, vamos considerar a soma de e . Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Podemos fatorar o na expressão acima:
Isso acontece porque está multiplicando ambos os termos e .

Passo 6

Observe que é a soma de dois inteiros, o que também é um inteiro. Vamos chamar essa soma de , onde . Assim, a expressão fica:
Como é um inteiro, isso mostra que multiplica um inteiro para resultar em .

Resposta

Portanto, demonstramos que divide .

Exercícios relacionados

Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica. Em seguida, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas.
(e) Para todo , existe tal que se então .
Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica. Em seguida, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas.
(b) Para cada número real existe um número real tal que .
Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(b) Se e são dois números inteiros cujo produto é ímpar, então ambos têm de ser ímpares.
Considerando o domínio de discurso , determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(d) .