Demonstre as seguintes afirmações pelo método que achar conveniente:
(a) Se e são números racionais, então e são números racionais.

Passo 1

Vamos resolver a afirmação: “Se e são números racionais, então e são números racionais.” Esse exercício é da matéria de Álgebra, especificamente sobre os números racionais e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender o que caracteriza um número racional e como operar com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como o quociente de dois inteiros, ou seja, , onde e são inteiros e .

Passo 3

Agora, vamos provar que o produto é racional. Se e são racionais, então podemos escrevê-los como:
onde , , e são inteiros e .

Passo 4

Multiplicando e :
Como e são inteiros, e , o resultado é um número racional.

Passo 5

Agora, vamos provar que a soma é racional. Usando as mesmas expressões para e :
Para somar frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum é :
Novamente, e são inteiros, e , então o resultado é um número racional.

Resposta

Portanto, mostramos que tanto quanto são números racionais quando e são racionais.

Exercícios relacionados

Considerando o domínio de discurso , determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(d) .
Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(b) Se e são dois números inteiros cujo produto é ímpar, então ambos têm de ser ímpares.
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
(a)
Considere o universo e os subconjuntos , e . Determine:
(a) e .