Demonstre as seguintes afirmações pelo método que achar conveniente:
(a) Se
e
são números racionais, então
e
são números racionais.
(a) Se
Passo 1
Vamos resolver a afirmação: “Se
e
são números racionais, então
e
são números racionais.” Esse exercício é da matéria de Álgebra, especificamente sobre os números racionais e suas propriedades. Para resolver, vamos precisar entender o que caracteriza um número racional e como operar com eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como o quociente de dois inteiros, ou seja,
, onde
e
são inteiros e
.
Passo 3
Agora, vamos provar que o produto
é racional. Se
e
são racionais, então podemos escrevê-los como:
onde
,
,
e
são inteiros e
.
Passo 4
Multiplicando
e
:
Como
e
são inteiros, e
, o resultado é um número racional.
Passo 5
Agora, vamos provar que a soma
é racional. Usando as mesmas expressões para
e
:
Para somar frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum é
:
Novamente,
e
são inteiros, e
, então o resultado é um número racional.
Resposta
Portanto, mostramos que tanto
quanto
são números racionais quando
e
são racionais.
Exercícios relacionados
Considerando o domínio de discurso
, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
(d) .
(d)
Demonstre as seguintes afirmações pelo método da contraposição:
(b) Se e
são dois números inteiros cujo produto é ímpar, então ambos têm de ser ímpares.
(b) Se
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
(a)
(a)
Considere o universo
e os subconjuntos
,
e
. Determine:
(a) e
.
(a)