Considerando o escoamento incompressível e bidimensional. Ou seja, sem escoamento ou variações das propriedades da direção z. Utilize g=9,81 m / s^2 e gx=gsen(theta).
a) Apresente o desenvolvimento da equação da conservação da massa na forma diferencial e das equações da quantidade de movimento linear também na forma diferencial. Explique-as simplificações, informando quais são as equações resultantes e simplifique-as ainda mais para modelar esse campo de escoamento;
b) Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade do líquido;
c) Explique em detalhes a Lei de Cisalhamento de Newton e como ela pode ser exemplificada por neste problema.
d) Tensão de cisalhamento na superfície para 1 mm de espessura de água ( 999 kg / m^3 ) sobre uma superfície inclinada de 15^circ em relação à horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A questão fala sobre escoamento incompressível e bidimensional, ou seja, sem variações na direção z. Vamos precisar entender os conceitos de conservação da massa e da quantidade de movimento linear, além de aplicar algumas simplificações para modelar esse escoamento. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é conservação da massa. Em um fluido incompressível, a massa total permanece constante enquanto o fluido se move. A equação da conservação da massa na forma diferencial para um escoamento bidimensional é dada por:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Aqui, e são as componentes da velocidade na direção x e y, respectivamente. Essa equação nos diz que a soma das taxas de variação da velocidade nas direções x e y deve ser zero para que a massa seja conservada.

Passo 3

Agora, vamos para as equações da quantidade de movimento linear, que são baseadas nas leis de Newton aplicadas ao fluido. Na forma diferencial, essas equações são conhecidas como as Equações de Navier-Stokes para um fluido incompressível e viscoso. Para o nosso caso bidimensional, as equações são:
rho ( partial upartial t + upartial upartial x + vpartial upartial y ) = -partial ppartial x + mu ( partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 ) + rho gx
rho ( partial vpartial t + upartial vpartial x + vpartial vpartial y ) = -partial ppartial y + mu ( partial^2 vpartial x^2 + partial^2 vpartial y^2 ) + rho gy
Aqui, é a densidade do fluido, é a pressão, é a viscosidade dinâmica, e , são as componentes da aceleração da gravidade.

Passo 4

Como o escoamento é bidimensional e incompressível, podemos assumir que não há variação temporal ( ) e que as velocidades são estacionárias. Além disso, se o escoamento for laminar e a velocidade na direção y for pequena ou nula ( ), as equações simplificam bastante.

Passo 5

Aplicando essas simplificações, as equações da quantidade de movimento linear se reduzem a:
0 = -partial ppartial x + mu partial^2 upartial y^2 + rho gx
0 = -partial ppartial y + rho gy
A segunda equação sugere que a variação da pressão na direção y é equilibrada pela força gravitacional nessa direção.

Passo 6

Para modelar o escoamento, geralmente consideramos que a pressão é constante na direção y ou que a variação da pressão com y é compensada pela pressão hidrostática. Com isso, podemos focar na primeira equação para encontrar o perfil de velocidade .

Passo 7

Assim, a equação simplificada que vamos utilizar é:
mu d^2 ud y^2 = d pd x - rho g sin(theta)
Aqui, é o ângulo da superfície inclinada, e representa a componente da gravidade na direção x ( ).

Resposta

Resumindo, iniciamos com a equação de conservação da massa para escoamento incompressível e bidimensional, que simplificamos para mu d^2 ud y^2 = d pd x - rho g sin(theta) . Em seguida, utilizamos as Equações de Navier-Stokes, aplicando as simplificações de escoamento estacionário e velocidades na direção y desprezíveis, resultando na equação:
Essa equação simplificada nos permitirá modelar o campo de escoamento para as próximas partes do exercício.

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