Considerando o espaço vetorial
, investigar se o seguintes conjuntos são subespaços de
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
e um conjunto
definido por todos os vetores
que satisfazem a equação
. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que determinam se um conjunto é realmente um subespaço. Vamos seguir passo a passo para não ficar nenhuma dúvida!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor zero deve estar no conjunto.
- Fechado pela adição: Se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado pela multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por um número real (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição de
:
Como
, o vetor zero está em
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado pela adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Seja
e
onde ambos satisfazem
e
.
Agora, somamos esses vetores:
Precisamos verificar se
também está em
. Vamos verificar a condição:
Como a soma também satisfaz a condição
,
é fechado pela adição. Segunda condição satisfeita!
Passo 5
3. Verificar se
é fechado pela multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
, digamos
que satisfaz
, e multiplicá-lo por um escalar
.
Multiplicando por
, temos:
Agora, vamos verificar a condição para este novo vetor:
Como a condição
ainda é satisfeita após a multiplicação por
, o conjunto
é fechado pela multiplicação por escalar. Terceira condição satisfeita!
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço são atendidas, o conjunto
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Em
, determine se
é gerado por
e
.
Seja
uma função real de variável real
o espaço vetorial com as operações
e
, definidas por
. Seja
o conjunto de todas as funções que satisfazem a equação diferencial
[Ou seja, S é o conjunto solução da equação (1).] Prove que
é um subespaço de
.
Considerando o espaço vetorial
, investigar se o seguintes conjuntos são subespaços de
:
.
Nos problemas a seguir, apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar o axioma que não se verifica.
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