Considerando o espaço vetorial (R^3,+, cdot, R), investigar se o seguintes conjuntos são subespaços de R^3 : S=(a1, a2, a3) in R^3 / a1+a3=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial R^3 e um conjunto S definido por todos os vetores (a1, a2, a3) que satisfazem a equação a1 + a3 = 0. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto S é um subespaço de R^3. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que determinam se um conjunto é realmente um subespaço. Vamos seguir passo a passo para não ficar nenhuma dúvida!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero deve estar no conjunto.
  2. Fechado pela adição: Se você pegar dois vetores no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado pela multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por um número real (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto S.

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em S:
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos ver se ele satisfaz a condição de S:
a1 + a3 = 0 + 0 = 0
Como 0 = 0, o vetor zero está em S. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

2. Verificar se S é fechado pela adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em S. Seja u = (a1, a2, a3) e v = (b1, b2, b3) onde ambos satisfazem a1 + a3 = 0 e b1 + b3 = 0.
Agora, somamos esses vetores:
u + v = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
Precisamos verificar se u + v também está em S. Vamos verificar a condição:
(a1 + b1) + (a3 + b3) = (a1 + a3) + (b1 + b3) = 0 + 0 = 0
Como a soma também satisfaz a condição a1 + a3 = 0, S é fechado pela adição. Segunda condição satisfeita!

Passo 5

3. Verificar se S é fechado pela multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em S, digamos u = (a1, a2, a3) que satisfaz a1 + a3 = 0, e multiplicá-lo por um escalar k in R.
Multiplicando por k, temos:
k cdot u = (k a1, k a2, k a3)
Agora, vamos verificar a condição para este novo vetor:
(k a1) + (k a3) = k(a1 + a3) = k cdot 0 = 0
Como a condição a1 + a3 = 0 ainda é satisfeita após a multiplicação por k, o conjunto S é fechado pela multiplicação por escalar. Terceira condição satisfeita!

Resposta

Como todas as três condições para ser um subespaço são atendidas, o conjunto S = (a1, a2, a3) in R^3 mid a1 + a3 = 0 é um subespaço de R^3.

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Seja F=f: R longrightarrow R: f uma função real de variável real o espaço vetorial com as operações f+g e c f, definidas por (f+g)(x)=f(x)+g(y) e(c f)(x)=c f(x). Seja S o conjunto de todas as funções que satisfazem a equação diferencial f^prime prime+f^prime+f=0 [Ou seja, S é o conjunto solução da equação (1).] Prove que S é um subespaço de F.
Considerando o espaço vetorial (R^3,+, cdot, R), investigar se o seguintes conjuntos são subespaços de R^3 : S=(a1, a2, a3) in R^3 / a3=a1+2.
Nos problemas a seguir, apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar o axioma que não se verifica.
© R^2,(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)
k(x1, y1)=(k^2 x1, k^2 y1)