Seja F=f: R longrightarrow R: f uma função real de variável real o espaço vetorial com as operações f+g e c f, definidas por (f+g)(x)=f(x)+g(y) e(c f)(x)=c f(x). Seja S o conjunto de todas as funções que satisfazem a equação diferencial f^prime prime+f^prime+f=0 [Ou seja, S é o conjunto solução da equação (1).] Prove que S é um subespaço de F.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto F que consiste em todas as funções reais de uma variável real. Dentro desse conjunto, temos um subconjunto S que é formado por todas as funções que satisfazem a equação diferencial f'' + f' + f = 0. Nosso objetivo é provar que S é um subespaço vetorial de F.
Para isso, vamos precisar lembrar algumas definições básicas de álgebra linear, especificamente o que caracteriza um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas:
  1. Não-vazio: O conjunto S deve conter pelo menos a função zero.
  2. Fechado sob adição: Se f e g estão em S, então f + g também deve estar em S.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se f está em S e c é um número real, então c cdot f também deve estar em S.

Passo 2

Vamos começar verificando se o conjunto S não está vazio. A forma mais simples de fazer isso é encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial f'' + f' + f = 0.
Considere a função f(x) = 0 para todo x in R. Calculando suas derivadas:
f'(x) = 0 e f''(x) = 0
Substituindo na equação diferencial:
0 + 0 + 0 = 0
Portanto, a função zero pertence a S, o que significa que S não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se S é fechado sob adição. Ou seja, se f e g são funções em S, queremos mostrar que f + g também está em S.
Sabendo que f e g satisfazem a equação diferencial, temos:
f'' + f' + f = 0 e g'' + g' + g = 0
Vamos considerar a função h = f + g. Calculando suas derivadas:
h' = f' + g' e h'' = f'' + g''
Substituindo na equação diferencial:
h'' + h' + h = (f'' + g'') + (f' + g') + (f + g) = (f'' + f' + f) + (g'' + g' + g) = 0 + 0 = 0
Portanto, h = f + g também satisfaz a equação diferencial, ou seja, h in S.

Passo 4

Por último, precisamos verificar se S é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se f está em S e c é um número real, então c cdot f também deve estar em S.
Sabendo que f satisfaz a equação diferencial:
f'' + f' + f = 0
Vamos considerar a função k = c cdot f. Calculando suas derivadas:
k' = c cdot f' e k'' = c cdot f''
Substituindo na equação diferencial:
k'' + k' + k = c cdot f'' + c cdot f' + c cdot f = c cdot (f'' + f' + f) = c cdot 0 = 0
Portanto, k = c cdot f também satisfaz a equação diferencial, ou seja, k in S.

Resposta

Concluímos que o conjunto S satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de F. Portanto, S é um subespaço de F.

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