Seja
uma função real de variável real
o espaço vetorial com as operações
e
, definidas por
. Seja
o conjunto de todas as funções que satisfazem a equação diferencial
[Ou seja, S é o conjunto solução da equação (1).] Prove que
é um subespaço de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um conjunto
que consiste em todas as funções reais de uma variável real. Dentro desse conjunto, temos um subconjunto
que é formado por todas as funções que satisfazem a equação diferencial
. Nosso objetivo é provar que
é um subespaço vetorial de
.
Para isso, vamos precisar lembrar algumas definições básicas de álgebra linear, especificamente o que caracteriza um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas:
- Não-vazio: O conjunto
deve conter pelo menos a função zero. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também deve estar em .
Passo 2
Vamos começar verificando se o conjunto
não está vazio. A forma mais simples de fazer isso é encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial
.
Considere a função
para todo
. Calculando suas derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Portanto, a função zero pertence a
, o que significa que
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se
e
são funções em
, queremos mostrar que
também está em
.
Sabendo que
e
satisfazem a equação diferencial, temos:
Vamos considerar a função
. Calculando suas derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Portanto,
também satisfaz a equação diferencial, ou seja,
.
Passo 4
Por último, precisamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se
está em
e
é um número real, então
também deve estar em
.
Sabendo que
satisfaz a equação diferencial:
Vamos considerar a função
. Calculando suas derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Portanto,
também satisfaz a equação diferencial, ou seja,
.
Resposta
Concluímos que o conjunto
satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial de
. Portanto,
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Prove que o conjunto
formado por todas as matrizes da forma
é um subespaço de
. Onde
é o espaço vetorial de matrizes
com as operações usuais.
Mostre que o conjunto
de todos os polinômios da forma
é um subespaço de
. Onde
é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.
Em
, determine se
é gerado por
e
.
Considerando o espaço vetorial
, investigar se o seguintes conjuntos são subespaços de
:
.