Em F, determine se sin (2 x) é gerado por sin (x) e cos (x).

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos determinar se a função sin(2x) pode ser gerada (ou seja, expressa como uma combinação linear) pelas funções sin(x) e cos(x) no espaço de funções F. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e identidades trigonométricas.

Passo 2

Uma combinação linear das funções sin(x) e cos(x) tem a seguinte forma:
A sin(x) + B cos(x)
onde A e B são constantes que queremos encontrar.

Passo 3

Nosso objetivo é achar valores de A e B que satisfaçam a equação:
A sin(x) + B cos(x) = sin(2x)
Para resolver isso, vamos utilizar uma identidade trigonométrica para sin(2x).

Passo 4

Sabemos que:
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
Substituindo essa identidade na equação anterior, temos:
A sin(x) + B cos(x) = 2 sin(x) cos(x)

Passo 5

Agora, queremos que a combinação linear A sin(x) + B cos(x) seja igual a 2 sin(x) cos(x) para todos os valores de x.
Observamos que o lado direito da equação, 2 sin(x) cos(x), é um produto de sin(x) e cos(x), enquanto o lado esquerdo é uma combinação linear simples dessas funções.
Isso significa que não é possível encontrar constantes A e B que transformem uma combinação linear simples em um produto das mesmas funções.

Passo 6

Como não existem valores de A e B que satisfaçam a equação para todos os x, concluímos que sin(2x) não pode ser gerado por uma combinação linear de sin(x) e cos(x) no espaço F.

Resposta

sin(2x) não é gerado por sin(x) e cos(x) no espaço F.

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