Em
, determine se
é gerado por
e
.
Passo 1
Vamos analisar o problema: precisamos determinar se a função
pode ser gerada (ou seja, expressa como uma combinação linear) pelas funções
e
no espaço de funções
. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear e identidades trigonométricas.
Passo 2
Uma combinação linear das funções
e
tem a seguinte forma:
onde
e
são constantes que queremos encontrar.
Passo 3
Nosso objetivo é achar valores de
e
que satisfaçam a equação:
Para resolver isso, vamos utilizar uma identidade trigonométrica para
.
Passo 4
Sabemos que:
Substituindo essa identidade na equação anterior, temos:
Passo 5
Agora, queremos que a combinação linear
seja igual a
para todos os valores de
.
Observamos que o lado direito da equação,
, é um produto de
e
, enquanto o lado esquerdo é uma combinação linear simples dessas funções.
Isso significa que não é possível encontrar constantes
e
que transformem uma combinação linear simples em um produto das mesmas funções.
Passo 6
Como não existem valores de
e
que satisfaçam a equação para todos os
, concluímos que
não pode ser gerado por uma combinação linear de
e
no espaço
.
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
uma função real de variável real
o espaço vetorial com as operações
e
, definidas por
. Seja
o conjunto de todas as funções que satisfazem a equação diferencial
[Ou seja, S é o conjunto solução da equação (1).] Prove que
é um subespaço de
.
Prove que o conjunto
formado por todas as matrizes da forma
é um subespaço de
. Onde
é o espaço vetorial de matrizes
com as operações usuais.
Considerando o espaço vetorial
, investigar se o seguintes conjuntos são subespaços de
:
.
Considerando o espaço vetorial
, investigar se o seguintes conjuntos são subespaços de
:
.