Considerando o espaço vetorial , investigar se o seguintes conjuntos são subespaços de : .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial , que é basicamente o conjunto de todos os vetores com três componentes reais. A pergunta é para a gente descobrir se o conjunto é um subespaço desse espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se o conjunto atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que, além de conter o vetor zero, é fechado para adição e multiplicação por escalar. Isso significa que:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
Fechado para adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
Fechado para multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição .
Substituindo:
Isso não é verdadeiro. Então, o vetor zero não está em .
Passo 4
2. Fechamento para adição:
Mesmo que o vetor zero não pertença a , vamos supor, para fins de entendimento, que temos dois vetores quaisquer em :
Somando-os:
Para estar em , a terceira componente deve ser igual à primeira mais dois:
Isso não é verdade. Portanto, não é fechado para adição.
Passo 5
3. Fechamento para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em :
Multiplicando por um escalar :
Para estar em , a terceira componente deve ser igual à primeira mais dois:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso significa que a única situação em que a multiplicação por escalar preserva a condição é quando . Para qualquer outro valor de , a condição não é satisfeita. Portanto, não é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto não contém o vetor zero, não é fechado para adição e não é fechado para multiplicação por escalar, não é um subespaço de .