Considerando o espaço vetorial
, investigar se o seguintes conjuntos são subespaços de
:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial
, que é basicamente o conjunto de todos os vetores com três componentes reais. A pergunta é para a gente descobrir se o conjunto
é um subespaço desse espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se o conjunto
atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que, além de conter o vetor zero, é fechado para adição e multiplicação por escalar. Isso significa que:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado para adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado para multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
.
Substituindo:
Isso não é verdadeiro. Então, o vetor zero não está em
.
Passo 4
2. Fechamento para adição:
Mesmo que o vetor zero não pertença a
, vamos supor, para fins de entendimento, que temos dois vetores quaisquer em
:
Somando-os:
Para estar em
, a terceira componente deve ser igual à primeira mais dois:
Isso não é verdade. Portanto,
não é fechado para adição.
Passo 5
3. Fechamento para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em
:
Multiplicando por um escalar
:
Para estar em
, a terceira componente deve ser igual à primeira mais dois:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso significa que a única situação em que a multiplicação por escalar preserva a condição é quando
. Para qualquer outro valor de
, a condição não é satisfeita. Portanto,
não é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
não contém o vetor zero, não é fechado para adição e não é fechado para multiplicação por escalar,
não é um subespaço de
.