Considerando o espaço vetorial (R^3,+, cdot, R), investigar se o seguintes conjuntos são subespaços de R^3 : S=(a1, a2, a3) in R^3 / a3=a1+2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial R^3, que é basicamente o conjunto de todos os vetores com três componentes reais. A pergunta é para a gente descobrir se o conjunto S = (a1, a2, a3) in R^3 mid a3 = a1 + 2 é um subespaço desse espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um subespaço vetorial e verificar se o conjunto S atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial é um conjunto que, além de conter o vetor zero, é fechado para adição e multiplicação por escalar. Isso significa que:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0, 0) deve estar no conjunto.
  2. Fechado para adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto S.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em S:
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos ver se ele satisfaz a condição a3 = a1 + 2.
Substituindo:
0 = 0 + 2 0 = 2
Isso não é verdadeiro. Então, o vetor zero não está em S.

Passo 4

2. Fechamento para adição:
Mesmo que o vetor zero não pertença a S, vamos supor, para fins de entendimento, que temos dois vetores quaisquer em S:
u = (a1, a2, a1 + 2) v = (b1, b2, b1 + 2)
Somando-os:
u + v = (a1 + b1, a2 + b2, (a1 + 2) + (b1 + 2)) = (a1 + b1, a2 + b2, a1 + b1 + 4)
Para estar em S, a terceira componente deve ser igual à primeira mais dois:
a1 + b1 + 4 = (a1 + b1) + 2 a1 + b1 + 4 = a1 + b1 + 2 4 = 2
Isso não é verdade. Portanto, S não é fechado para adição.

Passo 5

3. Fechamento para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em S:
u = (a1, a2, a1 + 2)
Multiplicando por um escalar k:
k cdot u = (k a1, k a2, k(a1 + 2)) = (k a1, k a2, k a1 + 2k)
Para estar em S, a terceira componente deve ser igual à primeira mais dois:
k a1 + 2k = k a1 + 2
Subtraindo k a1 de ambos os lados:
2k = 2 k = 1
Isso significa que a única situação em que a multiplicação por escalar preserva a condição é quando k = 1. Para qualquer outro valor de k, a condição não é satisfeita. Portanto, S não é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto S não contém o vetor zero, não é fechado para adição e não é fechado para multiplicação por escalar, S não é um subespaço de R^3.

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Em F, determine se sin (2 x) é gerado por sin (x) e cos (x).
Nos problemas a seguir, apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar o axioma que não se verifica.
© R^2,(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)
k(x1, y1)=(k^2 x1, k^2 y1)
Dados x1=[c-1 2 3], x2=[l3 4 2], x=[l2 6 6] e y=[c-9 -2 5], x égerado por x1 e x2 ?