Considerando que a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias é dada por:
Determine :
a)Função densidade de probabilidade condicional
a)Função densidade de probabilidade condicional
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função densidade de probabilidade condicional $ f_{X|Y}(x|y) $ usando a função densidade de probabilidade conjunta $ f(x, y) $. Isso faz parte do conteúdo de Probabilidade Condicional. Para resolver isso, precisamos entender como relacionar a função conjunta com as funções marginais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a função densidade condicional $ f_{X|Y}(x|y) $ é dada por:
Ou seja, a densidade condicional de $ X $ dado $ Y = y $ é a densidade conjunta $ f(x, y) $ dividida pela densidade marginal de $ Y $, $ f_Y(y) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar $ f_Y(y) $, a função densidade marginal de $ Y $. Para isso, vamos integrar a função conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ x $ sobre o intervalo onde $ x $ está definido, que é de 0 a 1:
Substituindo $ f(x, y) = \frac{x + y}{3} $, temos:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Como $ y $ é uma constante em relação a $ x $, podemos simplificar:
Então:
Passo 5
Agora que temos $ f_Y(y) $, podemos voltar à fórmula da densidade condicional:
Simplificando:
Mas como $ \frac{2y}{1 + 2y} = \frac{2y}{1 + 2y} $ é constante em relação a $ x $, podemos reescrever:
No entanto, para simplificar, podemos deixar a expressão original:
Resposta
A função densidade de probabilidade condicional é: