Considerando que a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias é dada por:
f(x, y)=c x+y3, 0 <= x <= 1 ; 0 <= y <= 2 0, paratodos x e y
Determine :
a)Função densidade de probabilidade condicional fX / Y(x / y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função densidade de probabilidade condicional $ f_{X|Y}(x|y) $ usando a função densidade de probabilidade conjunta $ f(x, y) $. Isso faz parte do conteúdo de Probabilidade Condicional. Para resolver isso, precisamos entender como relacionar a função conjunta com as funções marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a função densidade condicional $ f_{X|Y}(x|y) $ é dada por:
fX|Y(x|y)
Ou seja, a densidade condicional de $ X $ dado $ Y = y $ é a densidade conjunta $ f(x, y) $ dividida pela densidade marginal de $ Y $, $ f_Y(y) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ f_Y(y) $, a função densidade marginal de $ Y $. Para isso, vamos integrar a função conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ x $ sobre o intervalo onde $ x $ está definido, que é de 0 a 1:
fY(y)
Substituindo $ f(x, y) = \frac{x + y}{3} $, temos:
Y

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
fY(y) = 13 integral0^1 (x + y) , dx = 13 [ integral0^1 x , dx + integral0^1 y , dx ]
Como $ y $ é uma constante em relação a $ x $, podemos simplificar:
y
Então:
x

Passo 5

Agora que temos $ f_Y(y) $, podemos voltar à fórmula da densidade condicional:
fY(y)
Simplificando:
fX|Y(x|y) = f(x, y)fY(y) = x + y31 + 2y6 = 2(x + y)1 + 2y
Mas como $ \frac{2y}{1 + 2y} = \frac{2y}{1 + 2y} $ é constante em relação a $ x $, podemos reescrever:
fX|Y(x|y) = 2x + 2y1 + 2y = 2x1 + 2y + 2y1 + 2y
No entanto, para simplificar, podemos deixar a expressão original:
2y1 + 2y = 2y1 + 2y

Resposta

A função densidade de probabilidade condicional é:
fX|Y(x|y) = 2(x + y)1 + 2y

Exercícios relacionados