Numa loja de eletrodomésticos as vendas mensais de frigoríficos das marcas A e B são variáveis aleatórias X e Y com distribuição conjunta dada por:
X downarrow Y 1 2 3
1 0,25 0,25 0
2 0 0,25 0,25
b. Determine as probabilidades marginais de X e Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre as vendas mensais de frigoríficos das marcas A e B, representadas pelas variáveis aleatórias X e Y. A gente precisa encontrar as probabilidades marginais de X e Y. Isso significa que vamos calcular a probabilidade de cada valor de X e de cada valor de Y, independentemente da outra variável. Para isso, vamos usar a tabela de distribuição conjunta que nos foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são probabilidades marginais. A probabilidade marginal de X, por exemplo, é a probabilidade de X assumir um certo valor, sem se preocupar com os valores de Y. Para calcular isso, a gente soma todas as probabilidades na linha correspondente a esse valor de X.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade marginal de X = 1. Olhando na tabela, quando X = 1, as probabilidades para Y = 1, Y = 2 e Y = 3 são 0,25, 0,25 e 0, respectivamente. Então:
P(X = 1) = P(X=1, Y=1) + P(X=1, Y=2) + P(X=1, Y=3) = 0,25 + 0,25 + 0 = 0,5

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade marginal de X = 2. Na tabela, quando X = 2, as probabilidades para Y = 1, Y = 2 e Y = 3 são 0, 0,25 e 0,25, respectivamente. Então:
P(X = 2) = P(X=2, Y=1) + P(X=2, Y=2) + P(X=2, Y=3) = 0 + 0,25 + 0,25 = 0,5

Passo 5

Agora, vamos para as probabilidades marginais de Y. Primeiro, vamos calcular P(Y = 1). Para isso, somamos todas as probabilidades na coluna onde Y = 1, independentemente de X:
P(Y = 1) = P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) = 0,25 + 0 = 0,25

Passo 6

Em seguida, vamos calcular P(Y = 2). Somamos as probabilidades na coluna de Y = 2:
P(Y = 2) = P(X=1, Y=2) + P(X=2, Y=2) = 0,25 + 0,25 = 0,5

Passo 7

Por fim, vamos calcular P(Y = 3). Somamos as probabilidades na coluna de Y = 3:
P(Y = 3) = P(X=1, Y=3) + P(X=2, Y=3) = 0 + 0,25 = 0,25

Resposta

As probabilidades marginais são:
P(X = 1) = 0,5 P(X = 2) = 0,5 P(Y = 1) = 0,25 P(Y = 2) = 0,5 P(Y = 3) = 0,25

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