Considerando que a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias é dada por:
Determine :
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ dada por:
O exercício pede para gente determinar a função de distribuição condicional $ F_{X|Y}(x|y) = P[X \leq x | Y=y] $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções densidade conjunta, densidades marginais e distribuição condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para achar a distribuição condicional $ F_{X|Y}(x|y) $, a gente precisa da densidade marginal de $ Y $, que é $ f_Y(y) $. Essa densidade marginal é obtida integrando a função densidade conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ x $.
Então, vamos calcular $ f_Y(y) $:
Passo 3
Vamos resolver essa integral:
Sabendo que $ y $ é uma constante em relação a $ x $, as integrais ficam:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora que temos $ f_Y(y) $, podemos encontrar a densidade condicional $ f_{X|Y}(x|y) $ usando a fórmula:
Substituindo os valores que já calculamos:
Passo 5
Finalmente, para achar a função de distribuição condicional $ F_{X|Y}(x|y) = P[X \leq x | Y=y] $, a gente integra a densidade condicional de $ 0 $ até $ x $:
Resolvendo a integral:
Avaliar nos limites:
Resposta
A função de distribuição condicional $ F_{X|Y}(x|y) $ é dada por: