Considerando que a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias é dada por:
f(x, y)=c x+y3, 0 <= x <= 1 ; 0 <= y <= 2 0, paratodos x e y
Determine :
b)
FX / Y(x / y)=P[X <= x, Y=y]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ dada por:
X
O exercício pede para gente determinar a função de distribuição condicional $ F_{X|Y}(x|y) = P[X \leq x | Y=y] $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções densidade conjunta, densidades marginais e distribuição condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar a distribuição condicional $ F_{X|Y}(x|y) $, a gente precisa da densidade marginal de $ Y $, que é $ f_Y(y) $. Essa densidade marginal é obtida integrando a função densidade conjunta $ f(x, y) $ em relação a $ x $.
Então, vamos calcular $ f_Y(y) $:
FX|Y(x|y)

Passo 3

Vamos resolver essa integral:
fY(y) = 13 integral0^1 (x + y) , dx = 13 [ integral0^1 x , dx + integral0^1 y , dx ]
Sabendo que $ y $ é uma constante em relação a $ x $, as integrais ficam:
y
x
Então, substituindo de volta:
integral0^1 x , dx = x^22 |0^1 = 12

Passo 4

Agora que temos $ f_Y(y) $, podemos encontrar a densidade condicional $ f_{X|Y}(x|y) $ usando a fórmula:
fY(y)
Substituindo os valores que já calculamos:
fX|Y(x|y)

Passo 5

Finalmente, para achar a função de distribuição condicional $ F_{X|Y}(x|y) = P[X \leq x | Y=y] $, a gente integra a densidade condicional de $ 0 $ até $ x $:
FX|Y(x|y) = P[X <= x | Y=y]
Resolvendo a integral:
0
Avaliar nos limites:
x

Resposta

A função de distribuição condicional $ F_{X|Y}(x|y) $ é dada por:
FX|Y(x|y)

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