Considerando a função de transferência discreta a seguir, determine: O valor inicial x(0).
X(z)=z^-1(1-z^-1)(1+1,3 z^-1+0,4 z^-2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de transferência discreta dada por:
X(z) = z^-1(1 - z^-1)(1 + 1,3 z^-1 + 0,4 z^-2)
O objetivo é encontrar o valor inicial . Para isso, vamos usar conceitos da Transformada Z e entender como extrair o valor inicial a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada Z de uma sequência X(z) = sumn=0^infty x(n) z^-n é dada por:
x(0) = limz to infty X(z)
O valor inicial pode ser encontrado usando o Teorema do Valor Inicial, que nos diz que:
Isso significa que, para encontrar , precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular esse limite. Dada a função de transferência:
X(z) = z^-1(1 - z^-1)(1 + 1,3 z^-1 + 0,4 z^-2)
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por X(z) = z(z - 1)(z^2 + 1,3 z + 0,4) para eliminar os termos negativos de :

Passo 4

Agora, analisando o comportamento de X(z) approx zz^3 = 1z^2 quando limz to infty X(z) = limz to infty 1z^2 = 0 tende ao infinito:
  • No numerador, temos .
  • No denominador, temos quando é muito grande.
Portanto, para :
E, consequentemente:

Resposta

O valor inicial é igual a 0.

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