Considerando a função de transferência discreta a seguir, determine: O valor final x(infty).
X(z)=z^-1(1-z^-1)(1+1,3 z^-1+0,4 z^-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de transferência discreta dada por:
X(z) = z^-1(1 - z^-1) (1 + 1,3 z^-1 + 0,4 z^-2)
O que a questão pede é para determinar o valor final , ou seja, o valor que a saída do sistema atinge quando o tempo vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Final, que relaciona a função de transferência com o valor final da saída.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar do Teorema do Valor Final para sistemas discretos. Ele diz que:
x(infty) = limz to 1 (1 - z^-1) X(z)
Esse teorema nos ajuda a encontrar o valor de quando (tempo discreto) tende ao infinito, sem precisar fazer uma inversão completa da transformada Z.

Passo 3

Vamos aplicar o teorema à nossa função de transferência. Substituindo x(infty) = limz to 1 (1 - z^-1) cdot z^-1(1 - z^-1) (1 + 1,3 z^-1 + 0,4 z^-2) na fórmula, temos:

Passo 4

Simplificando a expressão, percebemos que o termo x(infty) = limz to 1 z^-11 + 1,3 z^-1 + 0,4 z^-2 no numerador e no denominador cancelam:

Passo 5

Agora, vamos substituir x(infty) = 1^-11 + 1,3 cdot 1^-1 + 0,4 cdot 1^-2 = 11 + 1,3 + 0,4 na expressão simplificada:

Passo 6

Calculando o denominador:
1 + 1,3 + 0,4 = 2,7
Então:
x(infty) = 12,7

Resposta

O valor final é .

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