Considerando uma planta industrial GP(s), elabore o conjunto de equações necessárias ao cálculo dos parâmetros do controlador GC(s) em função da imposição da equação característica Q(s).
GP(s)=b1 s+b0s^2+a1 s+a0 GC(s)=KP+1TI s+TD s Q(s)=(s-p1)(s-p2)(s-p3)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma planta industrial representada por e um controlador que queremos ajustar. O objetivo é encontrar as equações que nos ajudem a calcular os parâmetros do controlador ( , e ) de modo que a equação característica do sistema fechado seja igual à equação fornecida. Isso envolve conceitos de controle de sistemas e ajuste de controladores para que o sistema atinja o comportamento desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fica a equação característica de um sistema fechado. Quando temos uma planta GCL(s) = GC(s) GP(s)1 + GC(s) GP(s) e um controlador 1 + GC(s) GP(s) = 0 , a função de transferência do sistema fechado é dada por:
A equação característica é o denominador dessa expressão, ou seja:

Passo 3

Queremos que essa equação característica seja igual à 1 + GC(s) GP(s) = Q(s) dada na questão. Então, vamos igualar:
Isso vai nos dar uma equação que relaciona os parâmetros do controlador com os coeficientes de .

Passo 4

Vamos substituir GP(s) = b1 s + b0s^2 + a1 s + a0 e GC(s) = KP + 1TI s + TD s na equação. Temos:
1 + ( KP + 1TI s + TD s ) b1 s + b0s^2 + a1 s + a0 = Q(s)
Substituindo esses valores na equação característica:

Passo 5

Vamos multiplicar tudo por (s^2 + a1 s + a0) + (KP + 1TI s + TD s)(b1 s + b0) = Q(s)(s^2 + a1 s + a0) para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos expandir os termos:
s^2 + a1 s + a0 + KP b1 s + KP b0 + b1TI s^2 + b0TI s + TD b1 s^2 + TD b0 s = Q(s)(s^2 + a1 s + a0)

Passo 7

Organizando os termos semelhantes:
(1 + b1TI + TD b1) s^2 + (a1 + KP b1 + b0TI + TD b0) s + (a0 + KP b0) = Q(s)(s^2 + a1 s + a0)

Passo 8

Sabemos que Q(s) = s^3 - (p1 + p2 + p3) s^2 + (p1p2 + p1p3 + p2p3) s - p1p2p3 . Vamos expandir Q(s)(s^2 + a1 s + a0) = s^5 + (a1 - (p1 + p2 + p3)) ) s^4 + dots :
Multiplicando por :
(Continuar a expansão completa para igualar os coeficientes com a equação anterior.)

Resposta

As equações necessárias para calcular os parâmetros do controlador 1 + b1TI + TD b1 = Coeficiente de s^2 em Q(s) são:
a1 + KP b1 + b0TI + TD b0 = Coeficiente de s em Q(s)
a0 + KP b0 = Coeficiente constante em Q(s)
Essas três equações permitem determinar , e de acordo com a equação característica desejada .

Exercícios relacionados