Considerando as funções definidas abaixo, decida se são injetoras, sobrejetoras, bijetoras.

Passo 1

Beleza, então a gente tem a função que vai de para . A parada aqui é descobrir se essa função é injetora, sobrejetora ou bijetora. Pra isso, a gente vai precisar entender o que cada um desses termos significa e aplicar isso na função que tá no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora (ou seja, se ela não repete valores diferentes para entradas diferentes). Uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente .
No caso da nossa função , a raiz quadrada é uma função que cresce de forma contínua e não repete valores. Se , pra isso acontecer, tem que ser que , ou seja, . Assim, a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora (ou seja, se ela cobre todo o conjunto de chegada, que nesse caso é ). Para ser sobrejetora, pra cada em , tem que existir um em tal que .
Olha só: só dá valores maiores ou iguais a zero, porque a raiz quadrada de qualquer número real não negativo é também não negativa. Mas o conjunto de chegada é , que inclui números negativos. Portanto, não tem como atingir os números negativos com essa função. Logo, a função não é sobrejetora.

Passo 4

Por último, uma função é bijetora se ela for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. No nosso caso, vimos que a função é injetora, mas não é sobrejetora. Então, ela não é bijetora.

Resposta

A função é injetora, mas não é sobrejetora nem bijetora.

Exercícios relacionados

Dê o valor (caso exista) que a função dada deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique.
(a) .
(d) , em .
(b) .
(e) .
© .
Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume de um sólido que está dentro da esfera , acima do plano e abaixo do cone . Resp.
Considerando as funções definidas abaixo, decida se são injetoras, sobrejetoras, bijetoras.
Simplifique: ;