Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume de um sólido W que está dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4, acima do plano z = 0 e abaixo do cone z = (1/raiz(3)) * raiz(x^2 + y^2). Resp. pi / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera , acima do plano e abaixo do cone . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com esferas e cones. Precisaremos das fórmulas de volume em coordenadas esféricas e entender como definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Nessa coordenada, qualquer ponto é definido por (a distância do ponto até a origem), (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e (o ângulo a partir do eixo z). A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
O volume em coordenadas esféricas é dado por .

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração para , e .
  1. Para : Como o sólido é simétrico em torno do eixo z, varia de a .
  2. Para : A esfera tem raio 2 ( ).
  3. Para : O sólido está abaixo do cone . Convertendo para coordenadas esféricas:
Como o sólido está abaixo do cone, varia de a .

Passo 4

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :
Então, o volume é:

Passo 8

No entanto, como o sólido está apenas na metade superior da esfera (acima do plano ), precisamos dividir o volume total pela metade:

Resposta

O volume do sólido é .

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