Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume de um sólido que está dentro da esfera , acima do plano e abaixo do cone . Resp.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera , acima do plano e abaixo do cone . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com esferas e cones. Precisaremos das fórmulas de volume em coordenadas esféricas e entender como definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Nessa coordenada, qualquer ponto é definido por (a distância do ponto até a origem), (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e (o ângulo a partir do eixo z). A relação entre coordenadas cartesianas e esféricas é:
O volume em coordenadas esféricas é dado por .
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração para , e .
Para : Como o sólido é simétrico em torno do eixo z, varia de a .
Para : A esfera tem raio 2 ().
Para : O sólido está abaixo do cone . Convertendo para coordenadas esféricas:
Como o sólido está abaixo do cone, varia de a .
Passo 4
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a :
Então, o volume é:
Passo 8
No entanto, como o sólido está apenas na metade superior da esfera (acima do plano ), precisamos dividir o volume total pela metade: