Considerando um sistema representado por uma função de transferência de segunda ordem com dois pólos complexos conjugados, faça o que se pede:
a) Elabore uma representação gráfica no plano-S que evidencie a relação entre o posicionamento dos pólos e os parâmetros que compõem a função que descreve a resposta no domínio do tempo do sistema submetido a um degrau de entrada;
b) Desenvolva a expressão literal do máximo sobressinal alcançado em função de uma entrada em degrau unitário.
a) Elabore uma representação gráfica no plano-S que evidencie a relação entre o posicionamento dos pólos e os parâmetros que compõem a função que descreve a resposta no domínio do tempo do sistema submetido a um degrau de entrada;
b) Desenvolva a expressão literal do máximo sobressinal alcançado em função de uma entrada em degrau unitário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com um sistema de segunda ordem que tem dois polos complexos conjugados. Vamos usar conceitos de funções de transferência e da representação gráfica no plano-S (plano complexo) para entender como a posição desses polos influencia a resposta do sistema a uma entrada em degrau. Além disso, vamos calcular o máximo sobressinal que acontece nessa resposta. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções de transferência, polos de sistemas e como eles afetam a resposta no tempo, além de fórmulas relacionadas ao máximo sobressinal.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a representação gráfica no plano-S. Um sistema de segunda ordem com polos complexos conjugados pode ser representado no plano-S como dois pontos simétricos em relação ao eixo real. A posição desses polos
determina características como a frequência natural e o amortecimento do sistema. A distância dos polos em relação à origem e a inclinação no plano-S influenciam como o sistema reage a uma entrada em degrau, afetando a velocidade de resposta e a presença de oscilações.
Passo 3
Para elaborar o gráfico no plano-S, a gente precisa identificar os polos da função de transferência. A função de transferência de segunda ordem típica tem a forma:
Aqui,
é a frequência natural e
é o coeficiente de amortecimento. Os polos são então:
No plano-S, esses polos ficam localizados no ponto
no eixo real e em
no eixo imaginário. Ao plotar esses pontos, vemos como o amortecimento
e a frequência natural
afetam a posição dos polos.
Passo 4
Agora, vamos desenvolver a expressão do máximo sobressinal. O máximo sobressinal (
) é uma medida de quão alto a resposta do sistema vai além do valor de regime permanente antes de estabilizar. Para um sistema de segunda ordem com amortecimento
, a fórmula para
em função de
é:
Essa expressão nos mostra que quanto menor o amortecimento, maior será o sobressinal, indicando oscilações mais intensas antes do sistema se estabilizar.
Resposta
a) A representação gráfica no plano-S mostra dois polos complexos conjugados localizados em
. A posição desses polos indica que quanto maior o amortecimento
, mais próximos dos eixos real e imaginário os polos ficam, resultando em uma resposta menos oscilatória. A frequência natural
determina a rapidez das oscilações do sistema à entrada em degrau.
b) O máximo sobressinal (
) para uma entrada em degrau unitário é dado por: