Considerando o guindaste do exercício 10 , sabe-se que em t=0, a lança encontra-se em repouso na posição beta=60^circ. A partir deste instante, o guindaste começa a girar com velocidade angular que varia com taxa constante dotomega=2,0 rad / s^2 e, ao mesmo tempo, a lança começa a ser baixada com taxa constante ddotbeta=2,0 rad / s^2. Traçar as curvas dos módulos da velocidade e aceleração da extremidade P, no intervalo compreendido entre o instante inicial e o instante em que a lança se posiciona sobre o plano horizontal (beta=90^circ).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um guindaste com a lança inicialmente parada na posição beta = 60^circ. A partir do instante t = 0, o guindaste começa a girar com uma aceleração angular constante de dotomega = 2,0 rad/s^2 e, ao mesmo tempo, a lança começa a ser baixada com uma aceleração angular constante de ddotbeta = 2,0 rad/s^2. Nosso objetivo é traçar as curvas dos módulos da velocidade e da aceleração da extremidade P da lança, desde o momento inicial até quando a lança atinge a posição horizontal ( beta = 90^circ). Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como aceleração angular, velocidade angular e suas relações com velocidade e aceleração linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo que leva para a lança passar de beta = 60^circ para beta = 90^circ, utilizando a aceleração angular constante da lança.
Convertendo os ângulos para radianos:
60^circ = pi3 rad e 90^circ = pi2 rad
A variação total do ângulo é:
De
Usando a equação da posição angular:
theta(t) = theta0 + omega0 t + 12 alpha t^2
Como a lança está inicialmente em repouso, omega0 = 0. Então:
De

Passo 3

Agora, vamos determinar as velocidades angulares tanto do guindaste quanto da lança no tempo t.
Para a lança:
omegabeta(t) = omega0beta + ddotbeta t = 0 + 2,0 t = 2t rad/s
Para o guindaste:
omegaguindaste(t) = omega0 + dotomega t = 0 + 2,0 t = 2t rad/s
A velocidade angular total que afeta a extremidade P é a soma das duas:
omegatotal(t) = omegaguindaste(t) + omegabeta(t) = 2t + 2t = 4t rad/s

Passo 4

A velocidade linear da extremidade P está relacionada à velocidade angular total pela fórmula:
|vP| = L times omegatotal(t)
Onde L é o comprimento da lança. Substituindo omegatotal(t):
|vP| = L times 4t = 4L t m/s

Passo 5

Para encontrar a aceleração da extremidade P, precisamos considerar tanto a aceleração tangencial quanto a aceleração centrípeta.
Primeiro, a aceleração angular total é:
alphatotal = alphaguindaste + alphabeta = 2,0 + 2,0 = 4,0 rad/s^2
A aceleração tangencial é:
at = L times alphatotal = L times 4,0 = 4L m/s^2
A aceleração centrípeta é:
ac = L times omegatotal^2 = L times (4t)^2 = 16L t^2 m/s^2
A aceleração total é a combinação dessas duas:
|aP| = raizat^2 + ac^2 = raiz(4L)^2 + (16L t^2)^2 = L raiz16 + 256 t^4 m/s^2

Resposta

As curvas dos módulos da velocidade e da aceleração da extremidade P são dadas por:
  • Velocidade:
|vP| = 4L t
  • Aceleração:
|aP| = L raiz16 + 256 t^4
Onde t varia de 0 até aproximadamente 0,7247 segundos.

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