Considerando o guindaste do exercício 10 , sabe-se que em
, a lança encontra-se em repouso na posição
. A partir deste instante, o guindaste começa a girar com velocidade angular que varia com taxa constante
e, ao mesmo tempo, a lança começa a ser baixada com taxa constante
. Traçar as curvas dos módulos da velocidade e aceleração da extremidade P, no intervalo compreendido entre o instante inicial e o instante em que a lança se posiciona sobre o plano horizontal
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um guindaste com a lança inicialmente parada na posição
. A partir do instante
, o guindaste começa a girar com uma aceleração angular constante de
e, ao mesmo tempo, a lança começa a ser baixada com uma aceleração angular constante de
. Nosso objetivo é traçar as curvas dos módulos da velocidade e da aceleração da extremidade P da lança, desde o momento inicial até quando a lança atinge a posição horizontal (
). Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, como aceleração angular, velocidade angular e suas relações com velocidade e aceleração linear.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o tempo que leva para a lança passar de
para
, utilizando a aceleração angular constante da lança.
Convertendo os ângulos para radianos:
A variação total do ângulo é:
Usando a equação da posição angular:
Como a lança está inicialmente em repouso,
. Então:
Passo 3
Agora, vamos determinar as velocidades angulares tanto do guindaste quanto da lança no tempo
.
Para a lança:
Para o guindaste:
A velocidade angular total que afeta a extremidade P é a soma das duas:
Passo 4
A velocidade linear da extremidade P está relacionada à velocidade angular total pela fórmula:
Onde
é o comprimento da lança. Substituindo
:
Passo 5
Para encontrar a aceleração da extremidade P, precisamos considerar tanto a aceleração tangencial quanto a aceleração centrípeta.
Primeiro, a aceleração angular total é:
A aceleração tangencial é:
A aceleração centrípeta é:
A aceleração total é a combinação dessas duas:
Resposta
As curvas dos módulos da velocidade e da aceleração da extremidade P são dadas por:
- Velocidade:
- Aceleração:
Onde
varia de
até aproximadamente
segundos.