Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de segunda ordem:
As condições iniciais são
e
. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de coeficientes constantes. A gente assume uma solução do tipo
e substitui na equação para achar os valores de
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Fatorando
(que nunca é zero):
Isso nos dá a equação característica:
Resolvendo para
:
Passo 4
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau (em
), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
Derivando:
Passo 6
Substituindo
na equação completa:
Isso nos dá:
Mas isso não faz sentido porque
deveria ser uma constante. Isso significa que a nossa suposição inicial para
está incorreta. Precisamos tentar um polinômio de grau maior. Vamos supor:
Derivando novamente:
Substituindo na equação:
Ainda não resolve, então vamos tentar uma forma diferente. Vamos supor:
Derivando:
Substituindo:
Isso ainda não resolve. Parece que precisamos incluir um termo quadrático. Então, vamos tentar:
Mas já vimos que não funciona. Portanto, devemos assumir:
No entanto, ainda não resolve. Vamos considerar que precisamos de um termo que envolva
. Portanto, a solução particular é:
Passo 7
Agora, combinando a solução homogênea com a particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Aplicando as condições iniciais
e
, encontramos
e
. Então, a solução final é: