Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . O que precisamos fazer aqui é encontrar duas partes da solução: a função complementar que resolve a equação homogênea e a solução particular para a parte não homogênea. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar assumindo uma forma específica para a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas: .
Passo 3
Com raízes complexas , a função complementar é dada por:
Substituindo e :
Passo 4
Agora, vamos achar a solução particular . A parte direita da equação é:
Vamos identificar cada termo e supor formas adequadas para .
Passo 5
Para e , como já temos a função multiplicando funções trigonométricas na solução complementar, precisamos multiplicar nossa suposição por para não coincidir com a solução homogênea. Portanto, para esses termos, vamos supor:
Passo 6
Para os termos , como já está presente na solução complementar, precisamos novamente multiplicar por . Assim, supomos:
Passo 7
Por fim, para , que não envolve funções trigonométricas, podemos supor uma forma mais simples:
Passo 8
Juntando todas as partes, a solução particular fica: