Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . O que precisamos fazer aqui é encontrar duas partes da solução: a função complementar que resolve a equação homogênea e a solução particular para a parte não homogênea. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar assumindo uma forma específica para a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea r^2 + 4r + 20 = 0 . Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas: .
Passo 3
Com raízes complexas yc(x) = e^alpha x ( c1 cos beta x + c2 sin beta x ) , a função complementar yc(x) = e^-2x ( c1 cos 4x + c2 sin 4x ) é dada por:
Substituindo e :
Passo 4
Agora, vamos achar a solução particular x^2 e^-2x sin 4x - 3 cos 4x - x e^-2x . A parte direita da equação é:
Vamos identificar cada termo e supor formas adequadas para .
Passo 5
Para (Ax^3 + Bx^2 + Cx) e^-2x cos 4x + (Dx^3 + Ex^2 + Fx) e^-2x sin 4x e , como já temos a função multiplicando funções trigonométricas na solução complementar, precisamos multiplicar nossa suposição por para não coincidir com a solução homogênea. Portanto, para esses termos, vamos supor:
Passo 6
Para os termos G cos 4x + H sin 4x , como já está presente na solução complementar, precisamos novamente multiplicar por . Assim, supomos:
Passo 7
Por fim, para (Ix + J) e^-2x , que não envolve funções trigonométricas, podemos supor uma forma mais simples:
Passo 8
Juntando todas as partes, a solução particular yp(x) = ( Ax^3 + Bx^2 + Cx ) e^-2x cos 4x + ( Dx^3 + Ex^2 + Fx ) e^-2x sin 4x + G cos 4x + H sin 4x + (Ix + J) e^-2x fica:
Resposta
l yc = e^-2x ( c1 cos 4x + c2 sin 4x ) yp(x) = ( Ax^3 + Bx^2 + Cx ) e^-2x cos 4x + ( Dx^3 + Ex^2 + Fx ) e^-2x sin 4x + G cos 4x + H sin 4x + (Ix + J) e^-2x