Determine a função complementar yc(x) e uma forma adequada para a solução particular yp(x) utilizando o método dos coeficientes a determinar das seguintes equações diferenciais. Não avalie as constantes em yp(x)
© y^prime prime+4 y^prime+20 y=x^2 e^-2 x sen 4 x-3 cos 4 x-x e^-2 x
Resp: lyc=e^-2 x(c1 cos 4 x+c2 sen 4 x) yp(x)=(A x^3+B x^2+C x) e^-2 x cos 4 x+(D x^3+E x^2+F x) e^-2 x sen 4 x+G cos 4 x+ +H sen 4 x+(I x+J) e^-2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . O que precisamos fazer aqui é encontrar duas partes da solução: a função complementar que resolve a equação homogênea e a solução particular para a parte não homogênea. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica para encontrar assumindo uma forma específica para a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea r^2 + 4r + 20 = 0 . Para isso, montamos a equação característica:
r = -4 pm raiz16 - 802 = -4 pm raiz-642 = -4 pm 8i2 = -2 pm 4i
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas: .

Passo 3

Com raízes complexas yc(x) = e^alpha x ( c1 cos beta x + c2 sin beta x ) , a função complementar yc(x) = e^-2x ( c1 cos 4x + c2 sin 4x ) é dada por:
Substituindo e :

Passo 4

Agora, vamos achar a solução particular x^2 e^-2x sin 4x - 3 cos 4x - x e^-2x . A parte direita da equação é:
Vamos identificar cada termo e supor formas adequadas para .

Passo 5

Para (Ax^3 + Bx^2 + Cx) e^-2x cos 4x + (Dx^3 + Ex^2 + Fx) e^-2x sin 4x e , como já temos a função multiplicando funções trigonométricas na solução complementar, precisamos multiplicar nossa suposição por para não coincidir com a solução homogênea. Portanto, para esses termos, vamos supor:

Passo 6

Para os termos G cos 4x + H sin 4x , como já está presente na solução complementar, precisamos novamente multiplicar por . Assim, supomos:

Passo 7

Por fim, para (Ix + J) e^-2x , que não envolve funções trigonométricas, podemos supor uma forma mais simples:

Passo 8

Juntando todas as partes, a solução particular yp(x) = ( Ax^3 + Bx^2 + Cx ) e^-2x cos 4x + ( Dx^3 + Ex^2 + Fx ) e^-2x sin 4x + G cos 4x + H sin 4x + (Ix + J) e^-2x fica:

Resposta

l yc = e^-2x ( c1 cos 4x + c2 sin 4x ) yp(x) = ( Ax^3 + Bx^2 + Cx ) e^-2x cos 4x + ( Dx^3 + Ex^2 + Fx ) e^-2x sin 4x + G cos 4x + H sin 4x + (Ix + J) e^-2x

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