Considerando que a perda de calor em um tanque esférico deve ser no máximo igual a 2,8^* 10^6 W, calcule a espessura mínima desse container de aço ( K=57,9 W / mK ) sabendo que o raio interno é de 1,5 m e as temperaturas externa e interna são mantidas a 50^circ C e 350^circ C, respectivamente. Determine, ainda, uma equação geral para distribuição de temperatura no interior da casca metálica. A transferência de calor é em regime permanente e unidimensional (sentido radial).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um tanque esférico de aço que está perdendo calor, e queremos garantir que essa perda não ultrapasse . Precisamos calcular a espessura mínima desse tanque sabendo o raio interno, as temperaturas interna e externa, e a condutividade térmica do aço. Além disso, vamos determinar uma equação que descreve como a temperatura se distribui na parede do tanque. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de condução de calor em regime permanente com geometria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a transferência de calor por condução em uma esfera. Em regime permanente, a taxa de perda de calor ( dotQ = 4 pi K (Ti - Te)1ri - 1ro ) através de uma casca esférica é dada por:
Aqui:
  • é a condutividade térmica do material,
  • e são as temperaturas interna e externa,
  • é o raio interno,
  • é o raio externo.
Nosso objetivo é encontrar a espessura mínima .

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para resolver dotQ = 4 pi K (Ti - Te)1ri - 1ro :
1ri - 1ro = 4 pi K (Ti - Te)dotQ
Isolando o denominador:
1ro = 1ri - 4 pi K (Ti - Te)dotQ
Agora, resolvendo para 1ro = 11,5 - 4 pi times 57,9 times 3002,8 times 10^6 :
1ro = 0,6667 - 4 pi times 57,9 times 3002,8 times 10^6
Substituindo os valores fornecidos:
  • 4 pi times 57,9 times 3002,8 times 10^6 approx 4 times 3,1416 times 57,9 times 3002,8 times 10^6 approx 218,17 times 3002,8 times 10^6 approx 65,45 times 10^32,8 times 10^6 approx 0,02337
  • 1ro = 0,6667 - 0,02337 = 0,6433
  • ro = 10,6433 approx 1,554 m
  • De
Calculando :
Calculando a segunda parte:
Então:
Agora, invertendo para encontrar :
A espessura é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma equação geral para a distribuição de temperatura 1r^2 ddr ( r^2 dTdr ) = 0 na parede do tanque. Para condução de calor em regime permanente em coordenadas esféricas, a equação diferencial é:
r^2 dTdr = C1
Integrando uma vez:
dTdr = C1r^2 implies T(r) = -C1r + C2
Dividindo por T(r) = Ti ro - Te riro - ri + (Te - Ti) ri roro - ri cdot 1r e integrando novamente:
Aplicando as condições de contorno e , podemos determinar as constantes e . Substituindo, obtemos a equação geral da temperatura:

Resposta

A espessura mínima do tanque de aço é de aproximadamente 5,4 cm, e a equação geral para a distribuição de temperatura na parede metálica é:
T(r) = Ti ro - Te riro - ri + (Te - Ti) ri roro - ri cdot 1r

Exercícios relacionados