Considerando que a perda de calor em um tanque esférico deve ser no máximo igual a
, calcule a espessura mínima desse container de aço (
) sabendo que o raio interno é de
e as temperaturas externa e interna são mantidas a
e
, respectivamente. Determine, ainda, uma equação geral para distribuição de temperatura no interior da casca metálica. A transferência de calor é em regime permanente e unidimensional (sentido radial).
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um tanque esférico de aço que está perdendo calor, e queremos garantir que essa perda não ultrapasse
. Precisamos calcular a espessura mínima desse tanque sabendo o raio interno, as temperaturas interna e externa, e a condutividade térmica do aço. Além disso, vamos determinar uma equação que descreve como a temperatura se distribui na parede do tanque. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de condução de calor em regime permanente com geometria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a transferência de calor por condução em uma esfera. Em regime permanente, a taxa de perda de calor (
) através de uma casca esférica é dada por:
Aqui:
-
é a condutividade térmica do material, -
e são as temperaturas interna e externa, -
é o raio interno, -
é o raio externo.
Nosso objetivo é encontrar a espessura mínima
.
Passo 3
Vamos reorganizar a fórmula para resolver
:
Isolando o denominador:
Agora, resolvendo para
:
Substituindo os valores fornecidos:
Calculando
:
Calculando a segunda parte:
Então:
Agora, invertendo para encontrar
:
A espessura
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma equação geral para a distribuição de temperatura
na parede do tanque. Para condução de calor em regime permanente em coordenadas esféricas, a equação diferencial é:
Integrando uma vez:
Dividindo por
e integrando novamente:
Aplicando as condições de contorno
e
, podemos determinar as constantes
e
. Substituindo, obtemos a equação geral da temperatura:
Resposta
A espessura mínima do tanque de aço é de aproximadamente 5,4 cm, e a equação geral para a distribuição de temperatura na parede metálica é: