Óleo a 50^circ F é aquecido em um tubo horizontal de aço 2 in Schedule 40 de 60 ft de comprimento com superfície a 120^circ F. A taxa de fluxo de óleo é de 150 gal cdot h^-1 à temperatura de entrada. Qual a temperatura do óleo na saída do tubo? Qual o coeficiente de transferência de calor médio?
Propriedades do óleo:
60^circ F 120^circ F
mu, cP 18 8
cp, Btu cdot lb^-1 cdot ^circ F^-1 0,75 0,75
k, Btu cdot ft^-1 cdot h^-1 cdot F^-1 0,072 0,074
gravidade específica 0,79 0,74
Informacões: Gravidade específica é a razão entre a densidade do fluido de interesse e a densidade de um fluido de referência, como, por exemplo, água.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um problema de transferência de calor envolvendo óleo que está sendo aquecido enquanto passa por um tubo de aço. Precisamos descobrir duas coisas: a temperatura do óleo na saída do tubo e o coeficiente de transferência de calor médio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por convecção e equilíbrio de energia. Vamos precisar das propriedades do óleo fornecidas e também entender como calcular o fluxo de calor e a transferência térmica no tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
  • Temperatura de entrada do óleo, :
  • Temperatura da superfície do tubo, :
  • Comprimento do tubo, : 60 ft
  • Diâmetro do tubo: 2 polegadas (Schedule 40 implica uma espessura padrão, mas para simplificação, vamos considerar o diâmetro interno)
  • Taxa de fluxo volumétrico, : 150 gal/h
  • Propriedades do óleo a e
Vamos precisar converter algumas unidades para facilitar os cálculos, especialmente para fluxo e comprimento.

Passo 3

Vamos converter a taxa de fluxo volumétrico de galões por hora para pés cúbicos por hora, já que mantemos o comprimento em pés.
Sabemos que:
1 gal = 0,133681 ft^3
Então:
dotV = 150 gal/h times 0,133681 ft^3/gal = 20,05 ft^3/h

Passo 4

Agora, vamos calcular a massa do óleo que passa por hora. Para isso, precisamos da densidade do óleo. Sabemos a gravidade específica ( rho = SG times rhoágua ) da água é 1, então a densidade do óleo ( rho60 = 0,79 times 62,4 = 49,3 lb/ft^3 ) pode ser calculada como:
rho120 = 0,74 times 62,4 = 46,26 lb/ft^3 á
Onde rhomédia = 49,3 + 46,262 = 47,78 lb/ft^3 á
No dotm = rhomédia times dotV = 47,78 times 20,05 = 958,5 lb/h :
No :
Para simplificar, vamos assumir uma densidade média ( é):
é
Então, a massa por hora ( ) é:
é

Passo 5

Vamos converter a massa por hora para massa por segundo para facilitar os cálculos laterais, já que muitos conceitos de transferência de calor utilizam segundos.
Sabendo que:
1 hora = 3600 segundos
Então:
dotm = 958,53600 = 0,266 lb/s

Passo 6

Agora precisamos calcular a quantidade de calor transferido ao óleo enquanto ele passa pelo tubo. Para isso, usamos a equação de energia:
Q = dotm times cp times (Tout - Tin)
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor (Btu/s)
  • é a capacidade térmica específica do óleo
  • é a temperatura de saída (o que queremos encontrar)
Mas antes, vamos tratar as unidades da capacidade térmica específica. Dado que , podemos deixar conforme está para facilitar.

Passo 7

Para encontrar Q = h times A times De, precisamos relacionar com o coeficiente de transferência de calor. A taxa de calor transferido também pode ser expressa como:
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor
  • é a área de transferência de calor
  • é a diferença de temperatura média logarítmica
Como o tubo está a temperatura constante, podemos simplificar a diferença de temperatura.

Passo 8

Calculamos a área de transferência de calor. Considerando um tubo horizontal de comprimento A = pi times D times L e diâmetro interno 1 po<=gada = 112 pé :
D = 2 times 112 = 16 pés
Primeiro, precisamos converter o diâmetro de polegadas para pés. Sabendo que:
A = pi times 16 times 60 = pi times 10 = 31,416 ft^2 é
Então, para um diâmetro de 2 polegadas:
é
Agora, a área:

Passo 9

Como a superfície do tubo está a De e o óleo varia de a , a diferença de temperatura média logarítmica ( ) pode ser aproximada pela média simples (já que a parede está a temperatura constante):
Mas para simplificar, vamos usar a diferença entre a temperatura da superfície e a média das temperaturas de entrada e saída.

Passo 10

Agora, igualamos as duas expressões para dotm times cp times (Tout - Tin) = h times A times De:
dotm times cp times (Tout - Tin) = h times A times (Ts - Tin + Tout2)
Substituindo :
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 11

Substituindo os valores conhecidos:
0,266 times 0,75 times (Tout - 50) = h times 31,416 times (120 - 50 + Tout2)
Primeiro, simplificamos o lado esquerdo:
0,1995 times (Tout - 50) = h times 31,416 times (120 - 50 + Tout2)

Passo 12

Para resolver a equação, precisamos de uma relação para Re = rho times v times Dmu . Vamos determinar usando os conceitos de fluxo turbulento no tubo. Primeiro, calculamos o número de Reynolds para verificar se o fluxo é laminar ou turbulento.
Número de Reynolds:
Onde:
  • é a velocidade do fluido
  • é o diâmetro do tubo
  • é a viscosidade dinâmica

Passo 13

Calculamos a velocidade dotV = v times Aseccional . Sabemos que:
Aseccional = pi D^24 = pi (16)^24 = pi144 ft^2
Área seccional:
v = dotVAseccional = 20,05pi144 approx 920,5 ft/h
Então:
v approx 920,53600 approx 0,256 ft/s
Convertendo para ft/s:

Passo 14

Agora, calculamos o número de Reynolds usando as propriedades a Re = 47,78 times 0,256 times 1618 times 10^-3 :
1 cP = 0,001488 lb/(ft·s)
Convertendo a viscosidade de cP para lb/(ft·s):
mu = 18 times 0,001488 = 0,0268 lb/(ft·s)
Re = 47,78 times 0,256 times 160,0268 approx 303
Então:
Como , o fluxo é laminar.

Passo 15

Para fluxo laminar, o número de Nusselt ( Nu = 3.66 ) para tubo completamente desenvolvido e com temperatura constante na parede é:
h = Nu times kD
Então, o coeficiente de transferência de calor ( k = 0,072 Btu/(ft·h·°F) ) é:
D = 16 ft
Usando a condutividade térmica a h = 3.66 times 0,07216 = 3.66 times 0,072 times 6 = 1.580 Btu/(ft^2cdot h·°F) :
Então:

Passo 16

Agora que temos 0,1995 times (Tout - 50) = 1.580 times 31,416 times (120 - 50 + Tout2) , voltamos à equação de energia para encontrar 0,1995Tout - 9,975 = 49,69 times (120 - 25 - Tout2) :
0,1995Tout - 9,975 = 49,69 times (95 - Tout2)
Simplificando:
0,1995Tout - 9,975 = 47,2055 - 24,845Tout

Passo 17

Vamos juntar os termos com 0,1995Tout + 24,845Tout = 47,2055 + 9,975 :
25,0445Tout = 57,1805
Tout = 57,180525,0445 approx 2,28^circF
Isso parece estranho, a temperatura de saída é menor que de entrada. Vamos verificar onde pode ter ocorrido um erro.

Passo 18

Revisando os cálculos, percebemos que na aproximação da diferença de temperatura média logarítmica poderíamos ter cometido um erro. Para fluxo laminar com parede a temperatura constante, a diferença de temperatura média ( De) na verdade é:
De
Então, simplificando:
Vamos refazer a equação de energia com essa correção.

Passo 19

Agora, a equação se simplifica para:
dotm times cp times (Tout - Tin) = h times A times (Ts - Tin)
Substituindo os valores:
0,266 times 0,75 times (Tout - 50) = 1.580 times 31,416 times 70
Calculando cada lado:
Lado esquerdo:
0,1995 times (Tout - 50)
Lado direito:
1.580 times 31,416 times 70 approx 3,467 times 10^3 Btu/h
Convertendo o lado direito para Btu/s:
3,467 times 10^3 div 3600 approx 0,962 Btu/s

Passo 20

Igualando os lados:
0,1995 times (Tout - 50) = 0,962
Resolvendo para Tout - 50 = 0,9620,1995 approx 4,82 :
Tout = 50 + 4,82 = 54,82^circF

Resposta

A temperatura do óleo na saída do tubo é aproximadamente 54,8 °F e o coeficiente de transferência de calor médio é 1,58 Btu/(ft²·h·°F).

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