Considere que a resistência de um aquecedor é um fio longo de raio
e condutividade térmica
no qual ocorre geração uniforme de calor como resultado do aquecimento a uma taxa constante
. O fio é envolto por uma camada de material cerâmico de
de espessura cuja condutividade térmica é de
. Considerando que a temperatura da camada de cerâmica é
, determine as temperaturas no centro do fio da resistência e na interface entre o fio e a camada de cerâmica sob condições permanentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um fio de resistência que funciona como um aquecedor. Esse fio tem um raio de
e uma condutividade térmica de
. Ele gera calor de forma uniforme a uma taxa de
. Em volta desse fio, tem uma camada de cerâmica com espessura de
e condutividade térmica de
. Sabemos que na camada de cerâmica a temperatura é
. Nosso objetivo é descobrir duas coisas: a temperatura no centro do fio e na interface entre o fio e a cerâmica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor em cilindros com geração interna.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos.
- Raio do fio:
- Espessura da cerâmica:
- Taxa de geração de calor:
Passo 3
Vamos considerar que o sistema está em regime permanente, ou seja, as temperaturas não estão mudando com o tempo. A condução de calor em cilindros com geração interna é descrita pela equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas:
Onde:
-
é a temperatura -
é a posição radial -
é a condutividade térmica do fio -
é a taxa de geração de calor
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Integrando em relação a
:
Dividindo por
:
Integrando novamente:
Passo 5
Agora, aplicamos as condições de contorno. No centro do fio (
), a solução deve ser finita, o que implica que
(porque
não é definido). Assim:
A segunda condição de contorno é na interface entre o fio e a cerâmica (
), onde a temperatura é contínua e o fluxo de calor também é contínuo.
Passo 6
Na interface (
), temos:
Substituindo na equação:
Calculando:
Passo 7
Agora que temos
, podemos escrever a expressão completa para a temperatura no fio:
Passo 8
Para encontrar a temperatura no centro do fio (
):
Resposta
A temperatura no centro do fio de resistência é aproximadamente
e na interface entre o fio e a camada de cerâmica é de
.
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