Considere que a resistência de um aquecedor é um fio longo de raio e condutividade térmica no qual ocorre geração uniforme de calor como resultado do aquecimento a uma taxa constante . O fio é envolto por uma camada de material cerâmico de de espessura cuja condutividade térmica é de . Considerando que a temperatura da camada de cerâmica é , determine as temperaturas no centro do fio da resistência e na interface entre o fio e a camada de cerâmica sob condições permanentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um fio de resistência que funciona como um aquecedor. Esse fio tem um raio de e uma condutividade térmica de . Ele gera calor de forma uniforme a uma taxa de . Em volta desse fio, tem uma camada de cerâmica com espessura de e condutividade térmica de . Sabemos que na camada de cerâmica a temperatura é . Nosso objetivo é descobrir duas coisas: a temperatura no centro do fio e na interface entre o fio e a cerâmica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor em cilindros com geração interna.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos.
  • Raio do fio:
  • Espessura da cerâmica:
  • Taxa de geração de calor:

Passo 3

Vamos considerar que o sistema está em regime permanente, ou seja, as temperaturas não estão mudando com o tempo. A condução de calor em cilindros com geração interna é descrita pela equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas:
Onde:
  • é a temperatura
  • é a posição radial
  • é a condutividade térmica do fio
  • é a taxa de geração de calor

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Integrando em relação a :
Dividindo por :
Integrando novamente:

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno. No centro do fio ( ), a solução deve ser finita, o que implica que (porque não é definido). Assim:
A segunda condição de contorno é na interface entre o fio e a cerâmica ( ), onde a temperatura é contínua e o fluxo de calor também é contínuo.

Passo 6

Na interface ( ), temos:
Substituindo na equação:
Calculando:

Passo 7

Agora que temos , podemos escrever a expressão completa para a temperatura no fio:

Passo 8

Para encontrar a temperatura no centro do fio ( ):

Resposta

A temperatura no centro do fio de resistência é aproximadamente e na interface entre o fio e a camada de cerâmica é de .

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