Considere que a resistência de um aquecedor é um fio longo de raio r1=0,15 cm e condutividade térmica kf=12,5 W / mK no qual ocorre geração uniforme de calor como resultado do aquecimento a uma taxa constante dote=3,5 W / cm^3. O fio é envolto por uma camada de material cerâmico de 0,7 cm de espessura cuja condutividade térmica é de kc=0,05 W / mK. Considerando que a temperatura da camada de cerâmica é TS=90^circ C, determine as temperaturas no centro do fio da resistência e na interface entre o fio e a camada de cerâmica sob condições permanentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um fio de resistência que funciona como um aquecedor. Esse fio tem um raio de r1 = 0,15,cm e uma condutividade térmica de kf = 12,5,W/mK. Ele gera calor de forma uniforme a uma taxa de dote = 3,5,W/cm^3. Em volta desse fio, tem uma camada de cerâmica com espessura de 0,7,cm e condutividade térmica de kc = 0,05,W/mK. Sabemos que na camada de cerâmica a temperatura é TS = 90,°C. Nosso objetivo é descobrir duas coisas: a temperatura no centro do fio e na interface entre o fio e a cerâmica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor em cilindros com geração interna.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos.
  • Raio do fio: r1 = 0,15,cm = 0,0015,m
  • Espessura da cerâmica: 0,7,cm = 0,007,m
  • Taxa de geração de calor: dote = 3,5,W/cm^3 = 3,5 times 10^6,W/m^3

Passo 3

Vamos considerar que o sistema está em regime permanente, ou seja, as temperaturas não estão mudando com o tempo. A condução de calor em cilindros com geração interna é descrita pela equação de condução de calor em coordenadas cilíndricas:
1r ddr ( r dTdr ) + dotekf = 0
Onde:
  • T é a temperatura
  • r é a posição radial
  • kf é a condutividade térmica do fio
  • dote é a taxa de geração de calor

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por r:
ddr ( r dTdr ) = -dote , rkf
Integrando em relação a r:
r dTdr = -dote2kf r^2 + C1
Dividindo por r:
dTdr = -dote2kf r + C1r
Integrando novamente:
T(r) = -dote4kf r^2 + C1 ln r + C2

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno. No centro do fio ( r = 0), a solução deve ser finita, o que implica que C1 = 0 (porque ln 0 não é definido). Assim:
T(r) = -dote4kf r^2 + C2
A segunda condição de contorno é na interface entre o fio e a cerâmica ( r = r1), onde a temperatura é contínua e o fluxo de calor também é contínuo.

Passo 6

Na interface ( r = r1), temos:
T(r1) = Ts = 90,°C
Substituindo na equação:
90 = -3,5 times 10^64 times 12,5 (0,0015)^2 + C2
Calculando:
90 = -3,5 times 10^650 times 2,25 times 10^-6 + C2
90 = -3,5 times 10^6 times 2,25 times 10^-650 + C2
90 = -7,87550 + C2
90 = -0,1575 + C2
C2 = 90 + 0,1575 = 90,1575,°C

Passo 7

Agora que temos C2, podemos escrever a expressão completa para a temperatura no fio:
T(r) = -3,5 times 10^64 times 12,5 r^2 + 90,1575
T(r) = -3,5 times 10^650 r^2 + 90,1575
T(r) = -7 times 10^4 r^2 + 90,1575

Passo 8

Para encontrar a temperatura no centro do fio ( r = 0):
T(0) = -7 times 10^4 times 0 + 90,1575 = 90,1575,°C

Resposta

A temperatura no centro do fio de resistência é aproximadamente 90,16,°C e na interface entre o fio e a camada de cerâmica é de 90,00,°C.

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