Dada a função de transferência abaixo apresentada no domínio da frequência, elabore sua representação em equações de estado.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma função de transferência no domínio da frequência:
A tarefa é transformar essa função em equações de estado. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas dinâmicos e representação em equações de estado, que envolvem as matrizes , , e . Vamos por partes para entender e montar essas equações direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de estado. Em termos simples, é uma forma de representar sistemas dinâmicos usando variáveis de estado que descrevem o sistema completamente. A representação geral é:
Onde:
é o vetor de estados,
é a entrada,
é a saída,
, , , são matrizes que definem o sistema.
Vamos transformar a nossa função de transferência em uma dessas formas.
Passo 3
Nosso denominador é . Esse polinômio de ordem 3 sugere que nosso sistema terá 3 estados. Vamos escolher uma forma canônica, que facilita a montagem das matrizes. Vamos usar a Forma Controlável Canônica.
Na forma controlável canônica, a matriz tem uma estrutura específica onde a última linha contém os coeficientes do polinômio característico:
Aqui, os coeficientes são D = 0 , e , que vêm do denominador (note que mudamos os sinais).
A matriz na forma canônica é:
A matriz representa a relação da saída com os estados. Como no numerador temos , que é equivalente a , a matriz será:
E, finalmente, é simplesmente:
Passo 4
Agora que temos todas as matrizes, podemos escrever as equações de estado completas:
dotx = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -3 & -2 & -4 x + 0 0 1 u y = 1 & 0 & 0 x + 0 u
Resposta
A representação em equações de estado da função de transferência dada é:
dotx = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -3 & -2 & -4 x + 0 0 1 u y = 1 & 0 & 0 x + 0 u