Dada a função de transferência abaixo apresentada no domínio da frequência, elabore sua representação em equações de estado.
Y(s)=1s^3+4 s^2+2 s+3 U(s)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma função de transferência no domínio da frequência:
Y(s) = 1s^3 + 4 s^2 + 2 s + 3 U(s)
A tarefa é transformar essa função em equações de estado. Para isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas dinâmicos e representação em equações de estado, que envolvem as matrizes , , e . Vamos por partes para entender e montar essas equações direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de estado. Em termos simples, é uma forma de representar sistemas dinâmicos usando variáveis de estado que descrevem o sistema completamente. A representação geral é:
dotx = A x + B u y = C x + D u
Onde:
  • é o vetor de estados,
  • é a entrada,
  • é a saída,
  • , , , são matrizes que definem o sistema.
Vamos transformar a nossa função de transferência em uma dessas formas.

Passo 3

Nosso denominador é A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -3 & -2 & -4 . Esse polinômio de ordem 3 sugere que nosso sistema terá 3 estados. Vamos escolher uma forma canônica, que facilita a montagem das matrizes. Vamos usar a Forma Controlável Canônica.
Na forma controlável canônica, a matriz B = 0 0 1 tem uma estrutura específica onde a última linha contém os coeficientes do polinômio característico:
C = 1 & 0 & 0
Aqui, os coeficientes são D = 0 , e , que vêm do denominador (note que mudamos os sinais).
A matriz na forma canônica é:
A matriz representa a relação da saída com os estados. Como no numerador temos , que é equivalente a , a matriz será:
E, finalmente, é simplesmente:

Passo 4

Agora que temos todas as matrizes, podemos escrever as equações de estado completas:
dotx = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -3 & -2 & -4 x + 0 0 1 u y = 1 & 0 & 0 x + 0 u

Resposta

A representação em equações de estado da função de transferência dada é:
dotx = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -3 & -2 & -4 x + 0 0 1 u y = 1 & 0 & 0 x + 0 u

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