Considerando os pontos A(12, 1, 1), B(0, 3, 2) e C(4, 3, 1), obtenha um sistema de equações paramétricas do plano α que passa pelos pontos dados. Considere u→=AB e v→=AC.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um sistema de equações paramétricas para o plano α que passa pelos pontos A(12, 1, 1), B(0, 3, 2) e C(4, 3, 1). Para isso, vamos usar vetores para definir o plano. Precisamos entender de vetores no espaço e como eles ajudam a descrever planos. Vamos usar os vetores e v = AC para construir as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores u = AB e v = AC. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
u = B - A = (0 - 12, 3 - 1, 2 - 1) = (-12, 2, 1)
v = C - A = (4 - 12, 3 - 1, 1 - 1) = (-8, 2, 0)
Passo 3
Agora que temos os vetores u e v, podemos usar o ponto A como ponto de partida e esses vetores como direções no plano. As equações paramétricas de um plano têm a forma:
x = x0 + ux cdot t + vx cdot s y = y0 + uy cdot t + vy cdot s z = z0 + uz cdot t + vz cdot s
Onde (x0, y0, z0) é o ponto A e t e s são os parâmetros. Substituindo os valores: