Considerando-se que os pontos A, B, C e D sejam equidistantes, então os números a, b, c e d, estarão, nesta ordem, em progressão geométrica se a > 1.

Passo 1

Então, temos um problema que fala sobre quatro pontos: e , que estão equidistantes, ou seja, cada um está à mesma distância do próximo. A questão envolve uma sequência de números e que, nessa ordem, formam uma progressão geométrica, desde que . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma progressão geométrica e como as distâncias entre os pontos se relacionam com os números dessa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma progressão geométrica (PG). Em uma PG, cada termo depois do primeiro é encontrado multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Ou seja, se temos uma PG com termos , então:
onde é a razão da PG.

Passo 3

Agora, como os pontos e estão equidistantes? Isso significa que a distância entre e é a mesma que entre e , e entre e . Vamos chamar essa distância de .

Passo 4

Vamos relacionar as distâncias com os números e . Suponha que representem valores associados a cada ponto, talvez correspondendo a medidas como voltas, amplitudes ou qualquer outra grandeza que possa formar uma sequência.

Passo 5

Para que estejam em progressão geométrica, precisamos que:
Isso significa que a razão entre termos consecutivos é a mesma.

Passo 6

Sabemos que . Isso é importante porque, em uma PG, a razão determina se a sequência está crescendo ou decrescendo. Com , e se , a sequência estará crescendo.

Passo 7

Assim, se os pontos estão equidistantes e os números associados estão em PG com , garantimos que cada número subsequente é uma multiplicação do anterior por uma razão , mantendo a propriedade de equidistância entre os pontos.

Resposta

Portanto, quando os pontos e são equidistantes e , os números e formam, nessa ordem, uma progressão geométrica com razão .

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