Encontre o ponto sobre a reta y^2 - x^2 = 4 que está mais próximo do ponto 2,0.

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir qual ponto na curva definida pela equação está mais perto do ponto . Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a ideia de minimizar a distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos e é dada pela fórmula:
Mas para facilitar a matemática, vamos trabalhar com o quadrado da distância, , já que minimizar é o mesmo que minimizar .

Passo 3

Agora, como queremos que o ponto esteja na curva , podemos expressar em termos de :

Passo 4

Substituindo na expressão de , temos:
Vamos expandir e simplificar essa expressão:

Passo 5

Para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Com , vamos encontrar usando a equação da curva:

Resposta

Os pontos na curva mais próximos de são e .

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