Considere um tanque de água com o formato de um cilindro circular reto com 3 m de altura acima do dreno. O tanque tem 1 m de raio e o raio da abertura circular do dreno é de 0,1 m . Se o tanque está cheio de água inicialmente, determine quanto tempo vai levar para esvaziar o tanque até o nível do dreno.
(resolva também para tanque em formato de cone, com ângulo de abertura ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tanque de água que pode ser tanto um cilindro quanto um cone. No primeiro caso, o tanque cilíndrico tem 3 metros de altura acima do dreno, um raio de 1 metro e o dreno tem um raio de 0,1 metro. Queremos descobrir quanto tempo leva para esvaziar esse tanque até o nível do dreno.
Vamos precisar de alguns conceitos de cinemática dos fluidos, especialmente a Lei de Torricelli, que nos ajuda a relacionar a velocidade da água saindo pelo dreno com a altura da coluna de água. Também vamos usar cálculo para integrar a taxa de escoamento ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade com que a água sai pelo dreno usando a Lei de Torricelli. Essa lei diz que a velocidade da água saindo pelo dreno é dada por:
onde:
é a aceleração da gravidade (),
é a altura da coluna de água acima do dreno.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da abertura do dreno. A área de um círculo é dada por:
onde é o raio do dreno. Então:
Passo 4
A taxa de fluxo de água que sai pelo dreno é o produto da área da abertura pela velocidade da água:
Passo 5
Para encontrar o tempo necessário para esvaziar o tanque, precisamos relacionar a mudança de volume com o fluxo. O volume do tanque cilíndrico é:
onde . Então:
A taxa de variação do volume em relação ao tempo é igual a menos da taxa de fluxo:
Substituindo e :
Simplificando:
Passo 6
Vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando de até e de até :
Calculando a integral:
Passo 7
Resolvendo para :
Substituindo :
Passo 8
Agora, vamos resolver para o tanque em formato de cone com ângulo de abertura . A diferença aqui é que a área da superfície da coluna de água muda conforme a altura .
A área em função de para um cone é:
E usando trigonometria no cone:
Então:
Passo 9
Repetindo o processo, a taxa de variação do volume é:
Simplificando:
Passo 10
Separando as variáveis para integrar:
Integrando de até e de até :
Calculando a integral:
Passo 11
Resolvendo para :
Substituindo :
Resposta
Para o tanque cilíndrico, o tempo necessário para esvaziar até o nível do dreno é aproximadamente 78,15 segundos. Para o tanque cônico, o tempo depende do ângulo de abertura e é dado por segundos.