Considerando-se que a resistência elétrica do ar (isto é, o campo elétrico acima do qual o ar se torna condutor) seja 3 times 10^6 V / m, qual seria o raio de um condutor esférico que pudesse manter 1 coulomb de carga?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o raio de uma esfera condutora que consegue segurar 1 coulomb de carga elétrica sem que o ar ao redor dela conduza eletricidade. Isso envolve conceitos de eletrostática, especificamente o relacionamento entre carga elétrica, campo elétrico e raio do condutor. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula que relaciona o campo elétrico na superfície de uma esfera carregada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do campo elétrico ( E) na superfície de um condutor esférico:
E = Q4pi varepsilon0 r^2
Aqui:
  • E é o campo elétrico,
  • Q é a carga elétrica,
  • varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo ( varepsilon0 approx 8,85 times 10^-12 , F/m),
  • r é o raio da esfera.
Queremos que o campo elétrico na superfície não ultrapasse a resistência do ar, que é 3 times 10^6 , V/m. Então, vamos igualar E a esse valor e resolver para r.

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
3 times 10^6 = 14pi times 8,85 times 10^-12 times r^2
Agora, vamos isolar r^2:
r^2 = 14pi times 8,85 times 10^-12 times 3 times 10^6

Passo 4

Calculando o denominador primeiro:
4pi times 8,85 times 10^-12 times 3 times 10^6 approx 3,34 times 10^-4
Então:
r^2 = 13,34 times 10^-4 approx 2992,81 , m^2
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar r:
r approx raiz2992,81 approx 54,7 , m

Resposta

O raio da esfera condutora necessário para manter 1 coulomb de carga sem que o ar conduza eletricidade é aproximadamente 54,7 metros.

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