Considerando a reta e a circunferência , calcule a área do triângulo determinado pelo centro de e pelos pontos de interseção de u.a.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma reta e uma circunferência . A gente precisa calcular a área do triângulo formado pelo centro da circunferência e os pontos onde a reta intersecta a circunferência. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como equações de retas e circunferências, além de fórmulas para encontrar pontos de interseção e calcular áreas de triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da circunferência . A equação está na forma padrão , onde é o centro. Comparando:
Então, o centro é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre a reta e a circunferência . Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por e .
A equação da reta é:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 4
Vamos expressar em termos de usando a equação (1):
Agora, substituímos esse valor de na equação da circunferência:
Simplificando:
Passo 5
Vamos expandir as expressões:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Subtraindo 18 de ambos os lados:
Passo 6
Fatorando a equação:
Assim, as soluções para são:
Passo 7
Agora, encontramos os valores correspondentes de usando :
Para :
Então, um ponto de interseção é .
Para :
Então, o outro ponto de interseção é .
Passo 8
Agora, temos os três pontos que formam o triângulo:
Centro
Ponto
Ponto
Vamos usar a fórmula da área do triângulo dada pelos pontos , e :