Considerando a reta r: 2x + 4y = 12 e a circunferência lambda: (x-3)^2 + (y+3)^2 = 18, calcule a área do triângulo determinado pelo centro de lambda e pelos pontos de interseção de lambda com r . 27/5 u.a.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma reta e uma circunferência . A gente precisa calcular a área do triângulo formado pelo centro da circunferência e os pontos onde a reta intersecta a circunferência. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como equações de retas e circunferências, além de fórmulas para encontrar pontos de interseção e calcular áreas de triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da circunferência . A equação está na forma padrão , onde é o centro. Comparando:
Então, o centro é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre a reta e a circunferência . Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado por e .
A equação da reta é:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 4

Vamos expressar em termos de usando a equação (1):
Agora, substituímos esse valor de na equação da circunferência:
Simplificando:

Passo 5

Vamos expandir as expressões:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Subtraindo 18 de ambos os lados:

Passo 6

Fatorando a equação:
Assim, as soluções para são:

Passo 7

Agora, encontramos os valores correspondentes de usando :
Para :
Então, um ponto de interseção é .
Para :
Então, o outro ponto de interseção é .

Passo 8

Agora, temos os três pontos que formam o triângulo:
  • Centro
  • Ponto
  • Ponto
Vamos usar a fórmula da área do triângulo dada pelos pontos , e :
Á

Passo 9

Aplicando a fórmula com os pontos , e :
Á
Simplificando cada termo:

Resposta

A área do triângulo é unidades de área.

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