Considerando as retas e dadas pelas equações .
Calcule m in R para que:
b) r e t sejam concorrentes;
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Precisamos encontrar o valor de para que as retas e sejam concorrentes. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica relativos a retas no espaço tridimensional. Precisaremos resolver o sistema de equações que representam as retas para determinar se existe um ponto que satisfaz ambas as equações, ou seja, um ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas x = m y - 1 z = y - 1 e x = -2 lambda - 1 y = lambda z = -lambda - 1 (lambda in R) de forma mais clara:
Para a reta :
Para a reta :
Passo 3
Para que as retas e sejam concorrentes, elas devem compartilhar um ponto comum. Isso significa que existe um valor de tal que as coordenadas da reta também satisfazem as equações da reta .
Passo 4
Vamos igualar as coordenadas correspondentes das retas e :
e
e
Passo 5
Substituindo x = m lambda - 1 na primeira equação:
m lambda - 1 = -2 lambda - 1
E sabendo que , temos:
Passo 6
Resolvendo a equação para m lambda - 1 = -2 lambda - 1 :
m lambda + 2 lambda = 0
Somando lambda (m + 2) = 0 aos dois lados:
Fatorando :
Passo 7
Para que a equação seja satisfeita, temos duas possibilidades:
→
Passo 8
Analisando a segunda possibilidade ( z = y - 1 e z = -lambda - 1 ), substituímos na equação de lambda - 1 = -lambda - 1 :
2 lambda - 1 = -1
Substituindo 2 lambda = 0 Rightarrow lambda = 0 :
Somando aos dois lados:
Somando 1 aos dois lados:
Resposta
O valor de que faz com que as retas e sejam concorrentes é .