Considerando as retas r, s e t dadas pelas equações
r:lx=m y-1 z=y-1, s: x=ym=z, t:lx=-2 lambda-1 y=lambda z=-lambda-1 ,(lambda in R).
Calcule m in R para que:
b) r e t sejam concorrentes;

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Precisamos encontrar o valor de para que as retas e sejam concorrentes. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica relativos a retas no espaço tridimensional. Precisaremos resolver o sistema de equações que representam as retas para determinar se existe um ponto que satisfaz ambas as equações, ou seja, um ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas x = m y - 1 z = y - 1 e x = -2 lambda - 1 y = lambda z = -lambda - 1 (lambda in R) de forma mais clara:
Para a reta :
Para a reta :

Passo 3

Para que as retas e sejam concorrentes, elas devem compartilhar um ponto comum. Isso significa que existe um valor de tal que as coordenadas da reta também satisfazem as equações da reta .

Passo 4

Vamos igualar as coordenadas correspondentes das retas e :
  1. e
  2. e

Passo 5

Substituindo x = m lambda - 1 na primeira equação:
m lambda - 1 = -2 lambda - 1
E sabendo que , temos:

Passo 6

Resolvendo a equação para m lambda - 1 = -2 lambda - 1 :
m lambda + 2 lambda = 0
Somando lambda (m + 2) = 0 aos dois lados:
Fatorando :

Passo 7

Para que a equação seja satisfeita, temos duas possibilidades:

Passo 8

Analisando a segunda possibilidade ( z = y - 1 e z = -lambda - 1 ), substituímos na equação de lambda - 1 = -lambda - 1 :
2 lambda - 1 = -1
Substituindo 2 lambda = 0 Rightarrow lambda = 0 :
Somando aos dois lados:
Somando 1 aos dois lados:

Resposta

O valor de que faz com que as retas e sejam concorrentes é .

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Considerando as retas r, s e t dadas pelas equações
r:lx=m y-1 z=y-1, s: x=ym=z, t:lx=-2 lambda-1 y=lambda z=-lambda-1 ,(lambda in R).
Calcule m in R para que:
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