Considere a base canônica de e o operador linear dado pela matriz
Encontre: O polinômio característico de T e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de T.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem uma matriz que representa um operador linear em . Precisamos encontrar o polinômio característico dessa matriz e listar todos os candidatos a polinômio minimal de . Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e polinômios que descrevem as propriedades da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz dada, é uma variável e é a matriz identidade.
Passo 3
Subtraímos A - lambda I = 1 - lambda & 2 & 1 -1 & 3 - lambda & 1 0 & 2 & 2 - lambda da diagonal principal da matriz :
Normalizando para ter o coeficiente líder positivo:
p(lambda) = lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6
Passo 7
Agora, vamos listar os candidatos a polinômio minimal de . O polinômio minimal deve ser um polinômio monico (coeficiente líder igual a 1) que divide o polinômio característico e anula a matriz . Os candidatos são todos os polinômios monicos que dividem .
Passo 8
Primeiro, fatoramos o polinômio característico:
p(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2)(lambda - 3)
Passo 9
Os candidatos a polinômio minimal são todos os polinômios que são combinações dos fatores encontrados: