Considere alpha a base canônica de R^3 e T: R^3 R^3 o operador linear dado pela matriz
[T]alpha^alpha=[ccc 1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2 ]
Encontre: O polinômio característico de T e escreva todos os candidatos a polinômio minimal de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem uma matriz que representa um operador linear em . Precisamos encontrar o polinômio característico dessa matriz e listar todos os candidatos a polinômio minimal de . Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e polinômios que descrevem as propriedades da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz dada, é uma variável e é a matriz identidade.

Passo 3

Subtraímos A - lambda I = 1 - lambda & 2 & 1 -1 & 3 - lambda & 1 0 & 2 & 2 - lambda da diagonal principal da matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - (1)(2)] - 2[(-1)(2 - lambda) - (1)(0)] + 1[(-1)(2) - (3 - lambda)(0)]

Passo 5

Simplificando os cálculos:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2] - 2[-2 + lambda] + 1[-2]
= (1 - lambda)[(6 - 5lambda + lambda^2) - 2] + 4 - 2lambda - 2
= (1 - lambda)(4 - 5lambda + lambda^2) + 2 - 2lambda
= 4(1 - lambda) - 5lambda(1 - lambda) + lambda^2(1 - lambda) + 2 - 2lambda
= 4 - 4lambda - 5lambda + 5lambda^2 + lambda^2 - lambda^3 + 2 - 2lambda
= -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6

Passo 6

Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6
Normalizando para ter o coeficiente líder positivo:
p(lambda) = lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6

Passo 7

Agora, vamos listar os candidatos a polinômio minimal de . O polinômio minimal deve ser um polinômio monico (coeficiente líder igual a 1) que divide o polinômio característico e anula a matriz . Os candidatos são todos os polinômios monicos que dividem .

Passo 8

Primeiro, fatoramos o polinômio característico:
p(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2)(lambda - 3)

Passo 9

Os candidatos a polinômio minimal são todos os polinômios que são combinações dos fatores encontrados:
m(lambda) = (lambda - 1), m(lambda) = (lambda - 2), m(lambda) = (lambda - 3),
m(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2), m(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 3),
m(lambda) = (lambda - 2)(lambda - 3), m(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 2)(lambda - 3)

Resposta

O polinômio característico de m(lambda) = (lambda - 1), (lambda - 2), (lambda - 3), (lambda - 1)(lambda - 2), (lambda - 1)(lambda - 3), (lambda - 2)(lambda - 3), (lambda - 1)(lambda - 2)(lambda - 3) é . Os candidatos a polinômio minimal de são:

Exercícios relacionados

Verifique se cada operador linear abaixo é diagonalizável:
© T: P2 P2 tal que T(x+y t+z t^2)=y+x t+z t^2.
Ache o cosseno do ângulo entre as retas:
b) r:lx=3+t y=-2-t z=raiz2 t e s:lx=-2+t y=3+t z=-5+raiz2 t.
Considerando as retas r, s e t dadas pelas equações
r:lx=m y-1 z=y-1, s: x=ym=z, t:lx=-2 lambda-1 y=lambda z=-lambda-1 ,(lambda in R).
Calcule m in R para que:
b) r e t sejam concorrentes;
Considerando as retas r, s e t dadas pelas equações
r:lx=m y-1 z=y-1, s: x=ym=z, t:lx=-2 lambda-1 y=lambda z=-lambda-1 ,(lambda in R).
Calcule m in R para que:
c) s e t sejam coplanares;