Considerando as retas r, s e t dadas pelas equações
r:lx=m y-1 z=y-1, s: x=ym=z, t:lx=-2 lambda-1 y=lambda z=-lambda-1 ,(lambda in R).
Calcule m in R para que:
c) s e t sejam coplanares;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o valor de de forma que as retas e sejam coplanares. Isso está relacionado à geometria analítica, especificamente ao estudo de retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas e , identificar seus vetores diretores e usar conceitos de geometria vetorial para verificar a coplanaridade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas x = t, y = m t, z = t e x = -2lambda - 1 y = lambda z = -lambda - 1 de forma clara:
  • Reta :
    Podemos reescrever isso em forma paramétrica. Seja , então:
    Portanto, o vetor diretor da reta é .
  • Reta :
    Aqui, é o parâmetro. Podemos identificar que o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, vamos determinar um ponto em cada reta:
  • Para a reta x = 0, y = 0, z = 0 , vamos considerar x = -1, y = 0, z = -1 :
    Então, um ponto na reta é .
  • Para a reta , vamos considerar :
    Então, um ponto na reta é .

Passo 4

Para verificar se as retas PsPt = Pt - Ps = (-1 - 0, 0 - 0, -1 - 0) = (-1, 0, -1) e são coplanares, precisamos verificar se os vetores diretores e juntamente com o vetor que liga a são coplanares. Isso significa que o determinante formado por esses vetores deve ser igual a zero.
Primeiro, vamos encontrar o vetor :

Passo 5

Agora, formamos a matriz com os vetores 1 & -2 & -1 m & 1 & 0 1 & -1 & -1 = 0 , e :
Para que as retas sejam coplanares, o determinante dessa matriz deve ser zero.

Passo 6

Vamos calcular o determinante:
1 & -2 & -1 m & 1 & 0 1 & -1 & -1 = 1 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot (-1)) - (-2) cdot (m cdot (-1) - 0 cdot 1) + (-1) cdot (m cdot (-1) - 1 cdot 1)
Simplificando:
= 1 cdot (-1) - (-2) cdot (-m) + (-1) cdot (-m - 1)
= -1 - 2m + m + 1
= (-1 + 1) + (-2m + m) = 0 - m = -m
Portanto, temos:
-m = 0 implies m = 0

Resposta

Para que as retas e sejam coplanares, o valor de deve ser igual a 0.

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r:lx=m y-1 z=y-1, s: x=ym=z, t:lx=-2 lambda-1 y=lambda z=-lambda-1 ,(lambda in R).
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