Considerando as retas e dadas pelas equações .
Calcule m in R para que:
c) s e t sejam coplanares;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o valor de de forma que as retas e sejam coplanares. Isso está relacionado à geometria analítica, especificamente ao estudo de retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas e , identificar seus vetores diretores e usar conceitos de geometria vetorial para verificar a coplanaridade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas x = t, y = m t, z = t e x = -2lambda - 1 y = lambda z = -lambda - 1 de forma clara:
Reta :
Podemos reescrever isso em forma paramétrica. Seja , então:
Portanto, o vetor diretor da reta é .
Reta :
Aqui, é o parâmetro. Podemos identificar que o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, vamos determinar um ponto em cada reta:
Para a reta x = 0, y = 0, z = 0 , vamos considerar x = -1, y = 0, z = -1 :
Então, um ponto na reta é .
Para a reta , vamos considerar :
Então, um ponto na reta é .
Passo 4
Para verificar se as retas PsPt = Pt - Ps = (-1 - 0, 0 - 0, -1 - 0) = (-1, 0, -1) e são coplanares, precisamos verificar se os vetores diretores e juntamente com o vetor que liga a são coplanares. Isso significa que o determinante formado por esses vetores deve ser igual a zero.
Primeiro, vamos encontrar o vetor :
Passo 5
Agora, formamos a matriz com os vetores 1 & -2 & -1 m & 1 & 0 1 & -1 & -1 = 0 , e :
Para que as retas sejam coplanares, o determinante dessa matriz deve ser zero.