Verifique se cada operador linear abaixo é diagonalizável:
© T: P2 P2 tal que T(x+y t+z t^2)=y+x t+z t^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. A gente tem um operador linear T(x + y t + z t^2) = y + x t + z t^2 que atua no espaço (isto é, polinômios de grau até 2). O operador é definido por:
O objetivo aqui é verificar se esse operador é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes, autovalores e autovetores. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador A = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 como uma matriz. Para isso, vamos usar uma base para . Uma base comum é . Vamos ver como age sobre cada um desses vetores da base.
Então, na base , o operador é representado pela matriz:

Passo 3

Agora que temos a matriz det(A - lambda I) = 0 , precisamos verificar se ela é diagonalizável. Um jeito de fazer isso é encontrar os autovalores e ver se a soma das suas multiplicidades é igual ao tamanho da matriz, que aqui é 3.
Primeiro, encontramos os autovalores resolvendo a equação característica:
A - lambda I = - lambda & 1 & 0 1 & - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda
Onde det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda)(1 - lambda) - 1 cdot 1 cdot (1 - lambda) = lambda^2 (1 - lambda) - (1 - lambda) = (1 - lambda)(lambda^2 - 1) é a matriz identidade e (1 - lambda)(lambda^2 - 1) = 0 Rightarrow (1 - lambda)(lambda - 1)(lambda + 1) = 0 são os autovalores.
Vamos calcular:
Calculando o determinante:
Então, a equação característica é:
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos verificar se há autovetores suficientes para cada autovalor.
Para -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 :
Resolvemos y y z :
1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2
Isso simplifica para -y y 0 e livre. Então, os autovetores são da forma . Temos, portanto, dois vetores linearmente independentes para .
Para :
Resolvemos :
Isso leva a e . Então, os autovetores são da forma . Há um vetor não-nulo para .

Passo 5

Como encontramos três autovalores (contando multiplicidades) e conseguimos três autovetores linearmente independentes (dois para e um para ), isso significa que a matriz pode ser diagonalizada. Ou seja, existe uma base de formada por autovetores de .

Resposta

Sim, o operador linear é diagonalizável.

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