Considerando a seguinte função de transferência analógica, encontre:
F(s)=s^2+2 s-3(s+4)(s+12)(s+2)
A função de transferência equivalente em frações parciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de transferência analógica que é basicamente uma fração envolvendo polinômios em . Nosso objetivo aqui é decompor essa função em frações parciais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra como fatoração de polinômios e a técnica de frações parciais para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de transferência que temos:
F(s) = s^2 + 2s - 3(s + 4)(s + 12)(s + 2)
Queremos expressar s^2 + 2s - 3(s + 4)(s + 12)(s + 2) = As + 4 + Bs + 12 + Cs + 2 como uma soma de frações mais simples. A ideia é encontrar constantes , e tais que:

Passo 3

Para encontrar os valores de s^2 + 2s - 3 = A(s + 12)(s + 2) + B(s + 4)(s + 2) + C(s + 4)(s + 12) , e , vamos primeiro multiplicar os dois lados da equação pelo denominador comum . Isso vai eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos escolher valores de (-4)^2 + 2(-4) - 3 = A(-4 + 12)(-4 + 2) que vão simplificar a equação para encontrar 16 - 8 - 3 = A(-3.5)(-2) , 5 = 7A e A = 57 .
  1. Para encontrar (-12)^2 + 2(-12) - 3 = B(-12 + 4)(-12 + 2) :
    Escolha 14 - 1 - 3 = B(72)(32) (fazendo -154 = 214B ):
    B = -1521 = -57
    (-2)^2 + 2(-2) - 3 = C(-2 + 4)(-2 + 12)
    4 - 4 - 3 = C(2)(-1.5)
    -3 = -3C
  2. Para encontrar C = 1 :
    Escolha (fazendo ):
  3. Para encontrar :
    Escolha (fazendo ):

Resposta

Então, a função de transferência em frações parciais é:
F(s) = 57cdot1s + 4 - 57cdot1s + 12 + 1s + 2

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