Considerando a seguinte função de transferência digital, encontre:
X(z)=z(z-1)(z-0,25)(z+0,5)(z+0,8)
A função de transferência equivalente em frações parciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a função de transferência equivalente em frações parciais da seguinte função digital:
X(z) = z(z - 1)(z - 0,25)(z + 0,5)(z + 0,8)
Matéria envolvida: Frações parciais em funções de transferência digitais.
O que vamos precisar: Vamos decompor a função em uma soma de frações mais simples, chamadas frações parciais, para facilitar análises e cálculos futuros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são frações parciais. Frações parciais são uma maneira de quebrar uma fração mais complicada em uma soma de frações mais simples cujos denominadores são os fatores do denominador original.
Então, nossa meta é escrever X(z) = Az - 0,25 + Bz + 0,5 + Cz + 0,8 na forma:
onde , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Para encontrar os valores de A = 0,25(0,25 - 1)(0,25 + 0,5)(0,25 + 0,8) = 0,25 times (-0,75)0,75 times 1,05 = -0,18750,7875 = -0,2381 approx -521 , e , vamos usar o método de substituição de valores. Isso significa que vamos escolher valores específicos de que simplificam a equação para encontrar cada constante.
Encontrando :
Escolhemos porque isso zera os outros termos e facilita o cálculo.

Passo 4

Encontrando B = (-0,5)(-0,5 - 1)(-0,5 - 0,25)(-0,5 + 0,8) = (-0,5) times (-1,5)(-0,75) times 0,3 = 0,75-0,225 = -3,3333 approx -103 :
Agora, escolhemos para encontrar .

Passo 5

Encontrando C = (-0,8)(-0,8 - 1)(-0,8 - 0,25)(-0,8 + 0,5) = (-0,8) times (-1,8)(-1,05) times (-0,3) = 1,440,315 = 4,5714 approx 327 :
Por fim, escolhemos para determinar .

Resposta

Então, substituindo os valores encontrados de X(z) = -5/21z - 0,25 + -10/3z + 0,5 + 32/7z + 0,8 , e na nossa expressão inicial, temos a função de transferência equivalente em frações parciais:

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